線性代數的演繹主義

公元 1976 年,劍橋大學出版社於匈牙利數理哲學家伊姆雷‧拉卡托斯(Imre Lakatos,1922-1974)去世後兩年出版其遺作《證明與反駁:數學發現的邏輯》(Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery)。此書最早的中譯本為上海譯文出版於 1987 年發行的康宏逵譯本,2007 年又有復旦大學出版社發行的方剛與蘭釗合譯本。以下為合譯本對該書的介紹[一]。

這篇光輝論著旨在解決數學方法論的基本問題,以一種探索和發現的情境邏輯來代替形式主義和邏輯實證主義的抽象教條。正如拉卡托斯所說,非形式、準經驗的數學的發展,並不只靠逐步增加的毋庸置疑的定理的數目,而是靠以思辨與批評、證明與反駁之邏輯對最初猜想的持續不斷的改進。

本書的寫作形式也頗為新穎,作者以課堂討論的對話形式來展現數學的發現,生動地體現了數學發展的辯證過程。 正因為此,該書還可以作為數學教學的案例,給廣大數學教師提供了一種示範性的教學法。

 

拉卡托斯稱具有探索和發現的情境邏輯為“啟發法”或“助探論” (heuristic),與之對立的正是長年獨霸數學領域的演繹主義(deductivism),一種形式主義和邏輯實證主義的合體。在《證明與反駁》附錄二“演繹主義方案與助探方案的對立”,第一節“演繹主義體例”中,拉卡托斯以略帶情緒的語句介紹何謂演繹主義體例。我在網上找到康宏逵譯本[二],節錄於下,凡附有編號的腳註皆為作者所加註。

歐幾里得方法論發展了某種不可違抗的敘述體例。我要稱它為“演繹主義體例”。這種體例一開始是不辭辛苦地列一張公理引理和(或)定義的清單。公理和定義往往像是生造的,是複雜得神秘不堪的。無從得知這麼複雜的東西是怎麼鑽出來的。跟在公理和定義清單後面的是措辭審慎的定理。其中塞滿了繁而又繁的條件,看上去誰也不可能有幸矇出這樣的條件。跟在定理後面的是證明

根據歐幾里得的禮儀,學數學的都有義務小心伺候這套念咒的把戲,緘口不問背景,不問戲法是如何變成的。假使徒弟無意間發現有一些不雅觀的定義是證明生成的,假使他不加掩飾地懷疑這些定義、引理、定理怎麼會走在證明前面,那就暴露了他在數學上的幼稚,法師就要因此將他依法流放(1)。

註(1):有些教科書聲稱,作者不期待讀者有任何預備知識,只期待讀者在數學上相當成熟。這話的真意往往是指,他們期待讀者天生就有作歐幾里得式論證的“能力”、對發問背景、對論證背後的助探過程則全無不合天性的興趣

 

傳統線性代數教科書到處可見演繹主義體例的蹤影。看看 Hoffman 和 Kunze 合著的線性代數教科書[三],此書過去曾被許多教師奉為經典,在我求學的那個年代,學子們也以書架上擺放著這本“線代聖經”為傲。(諷刺的是,越是經典往往越不適合自修。多數的教科書是寫給同行教師看,而非為初學者撰述,因為教師才有權決定採用哪一本教科書。)H-K 在介紹了子空間之後,2-3 節講述向量空間的基底和維數,起頭就說:

現在我們開始進行向量空間維數的工作。雖然我們常將“維數”和幾何上的某些觀念關聯,我們必須尋求向量空間維數的一個適當代數定義。我們將由向量空間基底的觀念開始。

第一段先宣告向量空間有維數與基底這兩個屬性,接著,H-K 突然引進線性獨立與線性相依的定義:

定義:設 \mathcal{V} 為佈於 \mathcal{F} 的一個向量空間。\mathcal{V} 的子集合 S 稱為線性相依(或簡稱相依)若且為若存在一組相異向量 \mathbf{\alpha}_1,\mathbf{\alpha}_2,\ldots,\mathbf{\alpha}_n\in S\mathcal{F} 中有不全維為零的純量 c_1,c_2,\ldots,c_n,使得

c_1\mathbf{\alpha}_1+c_2\mathbf{\alpha}_2+\cdots+c_n\mathbf{\alpha}_n={0}

一集合若不是線性相依,就稱為線性獨立。若一集合 S 僅包含有限個向量 \mathbf{\alpha}_1,\mathbf{\alpha}_2,\ldots,\mathbf{\alpha}_n,則我們稱 \mathbf{\alpha}_1,\mathbf{\alpha}_2,\ldots,\mathbf{\alpha}_n 是相依的(或獨立的)以代替說 S 是相依的(或獨立的)。

為什麼我們該接受這個莫名其妙的定義呢?套用拉卡托斯的話,讀者且拭目以待,觀其後效。於是我們順從地耐住性子繼續往下聆聽講解。定義之後是幾個精心設計的例子,讓讀者對於定義的概念有些初步認識。緊接著,本小節的標題順理成章出現於第二個定義。

定義:設 \mathcal{V} 為一向量空間,我們稱 \mathfrak{B}\mathcal{V} 的一個基底若且為若 \mathfrak{B} 為一線性獨立集合且它擴張空間 \mathcal{V}。空間 \mathcal{V} 是有限維的若且為若它有一個有限的基底。

也許是出於擔憂讀者未能領略基底的意義,H-K 一口氣舉出六個例子,其中包括一個無限維基底,並語出神秘地說:

讀者如果很渴望想把冪級數 \sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k 引入此主例題,應再仔細地研讀一下。如果仍然沒有助益,他從此應該只注意有限維空間。

讀者正被作者搞得一頭霧水的時候,接著又蹦出下面這個定理。

定理4:設 \mathcal{V} 為有限個向量 \mathbf{\beta}_1,\mathbf{\beta}_2,\ldots,\mathbf{\beta}_m 擴張的向量空間,則在 \mathcal{V} 中,任何獨立的向量集合為有限且其個數不超過 m

假若讀者認同任何兩組基底必有相同的基底向量個數確實是重要的,可能會對這個命題感到些許興趣,並忍耐看完之後的一串定理與必然結果。但是 H-K 提都不提基底和線性獨立向量集最重要的意義:這裡頭沒有多餘的向量,因為向量空間 \mathcal{V} 中的任意向量 \mathbf{x} 有且僅有唯一以基底 \mathbf{\beta}_1,\mathbf{\beta}_2,\ldots,\mathbf{\beta}_n 的線性組合的表達方式。這個概念直到 2-4 節(座標)才出現在有序基底定義後面的討論,令人不解的是,帶有如此濃烈演繹色彩的教科書竟然未將此命題放入定理中。總之,我們有了許多個定理,全部起源於開宗明義的定義:線性獨立。至於這個定義是否由證明生成,或者定義背後隱藏了什麼動機,H-K 則隻字未提。

 

啟發法的敘述方式會顯示線性獨立和基底這兩個定義可由證明生成,並源自同一個概念:唯一表述。事實上,唯一性是理解線性獨立最直覺明顯的核心概念,唯一表述定理的證明直接點出了線性獨立概念的形成背景(參閱“線性獨立俱樂部”)。對演繹主義者而言,啟發法帶來的風險是造成定義和定理的混亂,也就是說,無從判定哪個概念是頭,哪個又是尾(見下圖)。

基底、唯一表述和線性獨立的推理路徑

介紹了演繹主義後,拉卡托斯隨即對它展開猛烈的批評,抨擊焦點在演繹主義是數學教育威權主義的溫床。

按演繹主義體例,凡命題都真,凡推論都有效。這麼一講,數學就成了一個永恆不變的真理越裝越多的集合。反例、反駁、批評嚴禁入場。開講便是化裝過的怪物除了外的證明生成定義,便是羽毛豐滿的定理,什麼原始猜想啦,反駁啦,證明挨過的批評啦,都給封存起來了,因此,不用擔心這個學科擺不出權威氣派。演繹主義體例把鬥爭掩蓋了,把冒險掩蓋了。全部的來龍去脈注定要被埋沒,而最終成品就被捧成了萬無一失的神物(2)。

註(2):人們還不大明白,現今的數學與科學教育是威權主義的溫床,是批判的獨立思考最惡劣的敵人。這種威權主義在數學裡奉行演繹主義模式,在科學裡卻是靠歸納主義模式顯神通。

歸納主義體例在科學裡有悠久的傳統。照這種體例寫的理想的文章一開始是不辭辛苦地描述實驗設備,然後是描述實驗和實驗結果。文章結尾處也許是一個“概括”。發問態勢(problem-situation),實驗所要檢驗的猜想則藏而不露。作者以有一顆浩白的處女心自誇。看得懂文章的寥寥無幾,因為真正了解發問態勢的只有那麼幾個人。(歸納主義體例反映科學家想吹噓他從一棵浩白的心開始研究的虛榮心,事實上他心中從一開始就充滿觀念。)這種把戲,要的和看的都只能是一幫子挑選好的行家——也未必總是耍得轉、看得懂。歸納主義體例正像它的演繹主義孿生兄弟一模一樣(長相可不是一模一樣!),自稱有什麼客觀性,其實是在助長說秘傳的行話,是在肢解科學、窒息批評、使科學威權化。按這樣的敘述方式,反例永遠不許出現。據說誰都是從觀察(而非理論)開始,但是,顯而易見,除非先有理論,誰也不能觀察到反例的。

接下來,拉卡托斯論述數學發現並非靠演繹進行,數學的發現邏輯在於助探論。奇怪的是,他將這個結論放在註(4)的最後一句話。拉卡托斯看的很清楚,多數人之所以拒絕助探論是擔憂助探論或將危及形式主義者迷戀的數學之美與邏輯實證主義者引以為傲的純然理性。

有些維護演繹主義體例的人聲稱,演繹是數學中唯一的助探模式,發現的邏輯不外是演繹(3)。另一些人明白這話不真,但明白之後又由此引出了數學發現全無理性可言的結論。於是,他們聲稱,儘管數學發現並非靠演繹進行,可是,如果想叫我們對數學發現的敘述按理性進行,也只好按演繹主義體例進行(4)。

註(3):這些人聲稱,數學家從一顆浩白的心開始,在鬧著玩的自由創造活動中,憑他們的興致設立公理和定義,只是到了偏後的階段才從這些公理和定義演繹出定理。如果按某種解釋公理真,那麼定理也真。數學上真理的傳送帶是不會出漏子的。如果不承認數學只限於形式系統的話,在我們對證明過程作過案例研究之後,總的來說,這個維護演繹主義體例的論據就可以排除了。

波普爾 (K. R. Popper) 說明斷言歸納是科學發現邏輯的人錯了,本短論的用意是說明斷言演繹是數學發現邏輯的人也錯了。波普爾批評了歸納主義體例,本短論則是試圖批評演繹主義體例。

註(4):這種說教是大多數牌號的形式主義數理哲學的一個重要部分。一談到發現,形式主義者總要區分發現的方面與核正( justification)的方面。“發現的方面留給心理學分析,邏輯只過問核正的方面”……。波普爾曾經把有關發現的問題分給心理學和邏輯而不給助探論這個獨立研究領域留地位,當時(事實上是在1934年),他顯然還不明白,他的“發現邏輯”是合乎邏輯的科學進步模式,但“合乎邏輯”不是只按嚴格意義來了解的。他的書名(指 1934 年出版的 Logik der Forschung)自悖其理的根源就在這裡。那本書的論點似乎有兩面:(a) 培根和笛卡爾都錯了,並沒有科學發現的邏輯;(b) 猜想和反駁的邏輯就是科學發現的邏輯。這個悖論的解法唾手可得:(a) 沒有萬無一失主義的科學發現的邏輯,即萬無一失地得出結果的邏輯;(b) 有或有一失主義的發現邏輯,這才是科學進步的邏輯。波普爾正是為這種發現邏輯奠定了基礎的人,但對他的研究是什麼性質這個元問題(metaquestion)並無興趣,所以他不明白這既非心理學又非邏輯,這是一門獨立的學問,就叫發現邏輯,也就是助探論。

所以,時下有兩種主張演繹主義體例的論據。一種論據的出發點是:助探論是合乎理性的和演繹主義的。第二種論據的出發點是:助探論不是演繹主義的,但也不是合乎理性的。

還有第三種論據。有些不喜歡邏輯學家、哲學家和其他怪癖狂干涉內政的務實數學家說,引入助探體例,教科書就得重寫,准會長得誰也無法從頭讀到尾。文章也要拉得很長很長(5)。對這種世俗的論據的回答是:那就試試看吧。

註(5):誠然,必須承認這樣的文章會少得很,因為,一講發問態勢,就會過份明顯地暴露相當多的文章說不到點子上去。

 

孟子曾經警告:「行之而不著焉,習矣而不察焉,終身由之而不知其道者,眾也。」幸好,受到近代數學教程不斷改革的影響,演繹主義的幽靈不再大張旗鼓地出現在新一代為非數學系使用的線性代數教科書中。然而這絕不意味啟發法已取代演繹主義,充其量只能說近年出版的教科書比較樂意解釋概念生成的來龍去脈並按實際用途挑選定理。至於拉卡托斯冀望的原始猜想、反駁、證明挨過的批評,這些有助學習的教材依然付之厥如。其中原因十分明顯,一是註(5)提到的,一講發問態勢,以問題導向交互進行的證明與反駁就會讓相當多的文章漏氣破功;另一個原因大家都很清楚,追溯數學概念與定理的發現過程並沒有什麼教育市場,這年頭眾人在乎的是教學與學習法能否為考試升學起加分作用。

名詞解釋:

形式主義(formalism),指在藝術、文學、與哲學上,對形式而非內容的着重[四]。

邏輯實證主義(logical positivism),也被稱為邏輯經驗主義,或者科學經驗主義。邏輯實證主義最顯著的特點體現在“實證原則”上。其觀點是:任何不可驗證的陳述都既非真,也非假,而是沒有實在意義[五]。

引用來源:
[一]:http://www.books.com.tw/exep/prod/china/chinafile.php?item=CN10100758
[二]:http://fliiby.com/file/25042/766xe6g3xp.html
[三]:K. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra, 2nd ed., Prentice Hall, 1971.
[四]:http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E4%B8%BB%E4%B9%89
[五]:http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%82%8F%E8%BC%AF%E5%AF%A6%E8%AD%89%E4%B8%BB%E7%BE%A9

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7 Responses to 線性代數的演繹主義

  1. Watt Lin 說道:

    「這年頭眾人在乎的是教學與學習法能否為考試升學起加分作用。」
    這句話,講得真好!

    可是,誰願意一心求真理,而不注重考試分數?
    專注求真理的人,除非實力十分雄厚,否則很容易在目前的升學制度下被淘汰!
    追求真理的學生容易被淘汰!追求真理的老師也容易被淘汰!
    只好退而求其次,不得不作一些表面功夫,有閒暇時間,才去求真理。
    但憑著良心,又不敢作太多表面功夫。

  2. ccjou 說道:

    人是社會的產物。學習規範由前人制定,生活方式任環境拘束,價值判斷也受所處的時代影響。淘汰可能意味著未受主流價值接納,未必就一定完蛋。

    沙特有句名言:Man is condemned to be free. 人被判處自由。人總還是可以選擇他自己的道路。哈,或許因為如此,我才會搞出這個沒什麼人瀏覽的教學部落格。

  3. 孟欽 說道:

    老師, 好久不見!

    現在也開始寫部落格啦?!

  4. ccjou 說道:

    自從上回在新竹誠品書局偶遇,至今又過了好幾年,現在的我已經開始用’年’來計算時間了。

    就某種意義來說,是的,我正在寫部落格,或者說紀錄一些不在教室課堂講述的言論與想法。

  5. kuku 說道:

    老師 您好!
    我是一個自大學畢業六年的商學院學生
    目前為某金控的小職員

    工作多年 對於職場的某些研究風氣感到失望與憂心
    現實生活的壓力 大多同事多半已失去研究熱誠
    終日以賺錢為目的
    俗氣如我 當然也喜歡賺錢 但是更重要的是 希望工作能更具有意義
    在看了葛林斯潘的自傳後 我立定未來的方向是要走央行相關的工作
    搜尋看到之前的新聞 說到彭總裁徵才的要求是:數學 統計 財管 雙匯等學有專精的人才
    大學念會計的我 財管還不是太難的
    但是 數學是我的罩門 而我的職場經驗讓我深深體會到 沒有扎實的馬步 沒有辦法更上一層樓
    因此我立志要唸數學研究所(從小到大 我還算滿喜歡數學的 但是討厭物理化學)
    當然 我會去補習 可是在上課之前 我去買了網路上介紹的線性代數的書
    才翻第一眼就傻眼了 完全不知道發生什麼事情
    因此上網搜尋到底要如何切入這個從沒聽過 沒看過的東西
    剛好逛到您的網頁
    謝謝您提供這麼多心得跟感想
    讓我原本慌亂的心情 稍微鎮定下來
    很冒昧打擾您了
    想請問一下
    您是否可以介紹一本適合像我這種 高中唸文組 大學完全沒碰過現代的人
    一本適合自修的基礎的現代的課本???

    一個很想讀好數學的路人上

  6. ccjou 說道:

    TO kuku,

    我挑選兩本可能比較合適自修的教科書供你參考。

    台大管理學院開授的「管理數學」內容其實是線性代數與線性規劃,課本是 Lason, Edwards, Falvo 合寫的 Elementary linear algebra (6th ed.)

    http://www.amazon.com/Elementary-Linear-Algebra-Ron-Larson/dp/0618783768

    台大電機系的線性代數課本:spence, insel, friedberg 合寫的 Elementary linear algebra (2nd ed.)

    http://www.amazon.com/Elementary-Linear-Algebra-Lawrence-Spence/dp/0131871412

    另外,你也可以考慮我的授課DVD,按首頁「交大出版社」進入。

    如果有其他問題,歡迎你留言討論。

  7. KUKU 說道:

    老師您好
    謝謝你的建議 我會努力自修的
    非常謝謝您的指點迷津

    遇見學海明燈的路人上

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