秩分解──目視行秩等於列秩

本文的閱讀等級:初級

矩陣的行空間的維數稱為行秩 (column rank),列空間的維數稱為列秩 (row rank)。子空間的維數由最大的線性獨立的向量數決定,“行秩=列秩”一文曾基於此性質通過操作矩陣乘法運算證明了矩陣的行秩等於列秩。證明歸證明,讀者心中可能依然困惑:「矩陣的線性獨立行向量數怎麼會恰好等於線性獨立的列向量數呢?」本文再提供一個論證,想法很簡單:利用高斯消去法挑選出矩陣的線性獨立行與列,並以一個特殊分解式呈現獨立行與獨立列。這個證明屬計算導向,雖未直接表達行秩等於列秩的幾何特性,但由所得的矩陣分解式我們可以「目視」原矩陣的行空間和列空間,兩者確實擁有相等的基底向量數。

 
下面我用一個例子來說明計算過程。考慮 3\times 4 階矩陣

\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{ccrr}  1&2&1&1\\  1&2&-1&-3\\  1&2&0&-1  \end{array}\!\!\right]

利用高斯消去法化簡增廣矩陣 \begin{bmatrix}  A&I_3  \end{bmatrix},加入 I_3 的用意是藉此三階分塊記錄執行過的基本列運算,結果如下:

\left[\!\!\begin{array}{ccrrcccc}  1&2&1&1&\vline&1&0&0\\  1&2&-1&-3&\vline&0&1&0\\  1&2&0&-1&\vline&0&0&1  \end{array}\!\!\right]\rightarrow\left[\!\!\begin{array}{cccrcccr}  1&2&0&-1&\vline&0&0&1\\  0&0&1&2&\vline&1&0&-1\\  0&0&0&0&\vline&1&1&-2  \end{array}\!\!\right]

消去過程可以解讀為一連串的基本矩陣乘法,總效果為

\begin{aligned} E\begin{bmatrix}  A&I_3  \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}  EA&EI_3  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  R&E  \end{bmatrix}\end{aligned}

其中

R=\left[\!\!\begin{array}{cccr}  1&2&0&-1\\  0&0&1&2\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right],~~~E=\left[\!\!\begin{array}{ccr}  0&0&1\\  1&0&-1\\  1&1&-2  \end{array}\!\!\right]

方陣 E 表示所執行的基本矩陣乘積,因此是可逆的,R=EAA 的簡約列梯形式。所以 A 也可表示為 A=E^{-1}R。計算得到

\displaystyle E^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{crc}  1&1&0\\  1&-1&1\\  1&0&0  \end{array}\!\!\right]

觀察發現 E^{-1} 的第 12 行恰好等於 A 的第 13 行,即軸行 (pivot column,包含軸的行)。這不是偶然,而是必然,原因是 R 的第 13 行 (軸行) 分別是單位向量 \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2。以行列乘開 E^{-1}R 可得

\displaystyle\begin{aligned} A&=E^{-1}R=\left[\!\!\begin{array}{c}  1\\  1\\  1  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 1&2&0&-1 \end{bmatrix}+\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1\\  0  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 0&0&1&2 \end{bmatrix}+\left[\!\!\begin{array}{c}  0\\  1\\  0  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 0&0&0&0 \end{bmatrix}\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&1\\  1&-1\\  1&0  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cccr}  1&2&0&-1\\  0&0&1&2  \end{array}\!\!\right]=XY.\end{aligned}

 
因為 X 的行向量是 A 的軸行,兩矩陣的行空間相同 (見“左乘還是右乘,這就是問題所在”),即 C(A)=C(X);因為 Y 的列向量是 R 的軸列,兩矩陣的列空間相同,即 C(A^T)=C(R^T)=C(Y^T)。所有的軸行構成一個線性獨立集,所有的軸列也構成一個線性獨立集。綜合以上結果也就證得矩陣 A 的行秩 \dim C(A)=\dim C(X) 與列秩 \dim C(A^T)=\dim C(Y^T) 都等於軸數 r,故直接稱為矩陣秩。因此,上述分解式稱為秩分解 (rank decomposition)。

 
秩分解是等價標準型 (見“每週問題 April 20, 2009”) 的約化。秩分解具有哪些實際用途呢?雖然秩分解既不像 LU 分解或 QR 分解可以用來解線性方程,也不如奇異值分解 (SVD) 具備對應良好的正交基底,但秩分解常用於推導化簡,如表達 Moore-Penrose 偽逆矩陣 (見“Moore-Penrose 偽逆矩陣”),並有展示行空間基底和列空間基底的作用。本文利用秩分解來證明線性代數的一個重要基石:矩陣的行秩等於列秩,也就是說,\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^T

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2 則回應給 秩分解──目視行秩等於列秩

  1. 計組小粉絲 說道:

    文中第一列:行空間的維數由線 “性" 獨立的行向量個數決定

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