每週問題 June 14, 2010

這是關於可逆正定矩陣的界定問題。

Pow-June-14-10

參考解答↓

PowSol-June-14-10

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2 Responses to 每週問題 June 14, 2010

  1. li an 說道:

    請問一下,裡面的最大化條件式是怎麼來的呢?
    謝謝

    • ccjou 說道:

      因為 x=Qzy=Qw,且 Q^TQA=\Lambda,故
      2x^Ty-y^TAy=2(Qz)^T(Qw)-(Qw)^TA(Qw)=2z^TQ^TQw-w^TQ^TAQw=2z^Tw-w^T\Lambda w

      參考解答確實寫的有些簡略。不過我方才發現不必將 A 正交對角化也行。因為 A^T=AA 可逆,直接展開
      2x^Ty-y^TAy=-(x^TA^{-1}x-2x^Ty+y^TAy)+x^TA^{-1}x=-(A^{-1}x-y)^T(x-Ay)+x^TA^{-1}x=-(A^{-1}x-y)^TA(A^{-1}x-y)+x^TA^{-1}x
      利用性質 u^TAu>0u\neq 0,可得
      2x^Ty-y^TAy\le x^TA^{-1}x,等號發生於 y=A^{-1}x

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