基底與維數常見問答集

本文的閱讀等級：中級

向量空間與其子空間是線性代數處理的基本數學物件，向量空間的核心是基底 (或稱基，basis)。我們以問答方式討論基底與維數 (dimension，基底的向量數) 的意義與性質，並解說這兩個概念於向量空間分析的應用。本文的預備知識包括線性組合、生成 (span) 和線性獨立 (見“線性獨立俱樂部”)。

問題 1. 什麼是基底？請舉例說明。

答曰：基底是一個座標系統，包含兩個要件：向量空間 $\mathcal{V}$ 的基底是一個線性獨立向量集 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ ，而且 $\mathcal{V}$ 中每一個向量都可表示為 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ 的線性組合。若基底是一個有限集，我們稱 $\mathcal{V}$ 是有限維向量空間，否則稱為無限維向量空間。

舉例來說，所有多項式形成的集合 $\mathcal{P}$ 是一個向量空間。在 $\mathcal{P}$ 中， $\{x_i(t)=t^i, i=0,1,2,\ldots\}$ 為一組基底，其中任何一個有限子集合是線性獨立的，而且每一個多項式都可表示為有限個 $x_i(t)$ 的線性組合。但是， $\mathcal{P}$ 不存在有限基底，因為給定任何一個有限多項式集合 $\{x_0(t),x_1(t),\ldots,x_n(t)\}$ ，我們總可以找到比這些多項式集合次冪更高的多項式，此高次多項式不可能由 $\{x_0(t),x_1(t),\ldots,x_n(t)\}$ 組合而成。

線性代數所討論的向量空間大多數都是有限維向量空間，譬如，幾何向量空間 $\mathbb{R}^n$ 是最常見的一個向量空間，它包含 $n$ 個基底向量 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ 。例如， $\mathbb{R}^3$ 空間的標準基底的元素有 $\mathbf{x}_1=(1,0,0)$ ， $\mathbf{x}_2=(0,1,0)$ ， $\mathbf{x}_3=(0,0,1)$ 。明顯地， $\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3\}$ 是一個線性獨立集，而且對於任意 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3$ ，

$\begin{aligned} \mathbf{v}&=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix}=v_1\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+v_2\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+v_3\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\\ &=v_1\mathbf{x}_1+v_2\mathbf{x}_2+v_3\mathbf{x}_3.\end{aligned}$

換句話說，每一個 $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ 都可唯一表示為 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3$ 的線性組合。

問題 2. 為甚麼基底向量必須是線性獨立的？

答曰：線性獨立帶來唯一性。設 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 為向量空間 $\mathcal{V}$ 的一組基底，我們知道任何一個向量 $\mathbf{v}\in\mathcal{V}$ 都可表示為

$\mathbf{v}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n$ 。

假設還有另一種表達方式，例如，

$\mathbf{v}=d_1\mathbf{x}_1+\cdots+d_n\mathbf{x}_n$ ，

將上面兩式相減可得

$(c_1-d_1)\mathbf{x}_1+\cdots+(c_n-d_n)\mathbf{x}_n=\mathbf{0}$ 。

我們要求 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 為線性獨立集，迫使 $c_1-d_1=\cdots=c_n-d_n=0$ ，揭示基底的唯一表述性與線性獨立的定義是同一件事情的兩種講法。

問題 3. 如何從一個線性相關集選出最大的線性獨立子集合？

答曰：直白地說，一個線性相關向量集包含多餘的向量。如果 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 是一個線性相關集，則存在 $2\le k\le n$ 使得 $\mathbf{x}_k$ 可表示為 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1}$ 的線性組合，反之亦然。證明於下：令 $k$ 為 $2$ 至 $n$ 的最小整數使得 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k$ 線性相關。因此，存在不全為零的數組 $c_1,\ldots,c_k$ 使得 $c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_k\mathbf{x}_k=\mathbf{0}$ ，且 $c_k\neq 0$ ，否則 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1}\}$ 會是一個更小的線性相關集。寫出

$\displaystyle \mathbf{x}_k=-\frac{1}{c_k}(c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_{k-1}\mathbf{x}_{k-1})$ ，

故證明所求。反過來說，若非零向量 $\mathbf{x}_k=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_{k-1}\mathbf{x}_{k-1}$ ， $2\le k\le n$ ，則至少有一 $c_i\neq 0$ ，故存在不全為零的數組 $c_1,\ldots,c_n$ 使得 $c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=\mathbf{0}$ ，證明 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 是線性相關集。

假設 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 是一個線性相關集。若 $\mathbf{x}_k$ 可由其他成員組合而成，我們可以將它刪除，如此便得到一個較小的向量集。重複此程序直到無多餘向量為止，最後剩下來的必定是最大的線性獨立集合。

問題 4. 任意有限維向量空間必定存在一組基底嗎？

答曰：是的。假設 $\mathcal{V}$ 是一個有限維向量空間，且 $\mathcal{V}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 。如果 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 是線性獨立的，則此集合即為基底。假設 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 是一個線性相關集。運用前述刪除程序直到無多餘向量為止，最後剩下來的最大線性獨立集就是 $\mathcal{V}$ 的一組基底。

問題 5. 向量空間 $\mathcal{O}=\{\mathbf{0}\}$ 的基底為何？

答曰：線性獨立向量集不含零向量，故 $\mathbf{0}$ 不能作為基底向量。換句話說，向量空間 $\mathcal{O}$ 的基底是空集合 $\emptyset$ 。如果你接受這個說法，等於承認當 $\sum_{i\in I}\mathbf{x}_i$ 的指標集 $I$ 是空集合時， $\sum_{i\in I}\mathbf{x}_i=\mathbf{0}$ ，即 $\mathbf{0}$ 可由空集合生成^[1]。根據基底定義，空集合 $\emptyset$ 必然是線性獨立的。

問題 6. 如果 $\mathcal{V}$ 是有限維向量空間，已知一個線性獨立向量集 $\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\}$ ， $\mathbf{y}_i\in\mathcal{V}$ ，利用此向量集如何求出 $\mathcal{V}$ 的一組基底？

答曰：因為 $\mathcal{V}$ 是有限維空間，假設其基底為 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 。考慮

$\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ ，

此集合是線性相關的，因為 $\mathbf{y}_i$ 必為 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ 的線性組合。利用Q4所述的檢查程序可以挑選出一組擴充自 $\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m$ 的基底，這個結果稱為 Steinitz 替換原則 (substitution principle)。舉一個例子說明，考慮 $\mathbb{R}^3$ 的兩個線性獨立向量

$\mathbf{y}_1=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix},~\mathbf{y}_2=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{bmatrix}$ 。

設 $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3$ $\mathbb{R}^3$ 標準基底。對增廣矩陣 $\begin{bmatrix} \mathbf{y}_1&\mathbf{y}_2&\mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\mathbf{x}_3 \end{bmatrix}$ 執行消去法可得梯形矩陣，如下：

$\begin{bmatrix} 1&1&1&0&0\\ 1&2&0&1&0\\ 1&2&0&0&1 \end{bmatrix}\to\left[\!\!\begin{array}{ccrcr} 1&0&1&0&0\\ 0&1&-1&1&0\\ 0&0&0&1&-1 \end{array}\!\!\right]$

由梯形矩陣軸行，即 $1$ ， $2$ ， $4$ 行，就能判斷 $\{\mathbf{y}_1,\mathbf{y}_2,\mathbf{x}_2\}$ 為線性獨立集 (見“由簡約列梯形式判斷行空間基底”)，因此可以當作 $\mathbb{R}^3$ 的一組基底，也就是說，我們將原本的基底向量 $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_3$ 替換為 $\mathbf{y}_1,\mathbf{y}_2$ 。

問題 7. 有限維向量空間的基底向量個數不因選擇的基底不同而改變？

答曰：是的，這個事實非常重要，稱作維數定理。假設 $\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\}$ 和 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 為向量空間 $\mathcal{V}$ 的兩組基底。將 Steinitz 替換原則應用於獨立向量集 $\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m$ 和基底 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ ，可得到一組包含 $n$ 個向量的新基底，因此 $m\le n$ 。將兩組向量角色互換，再執行一次 Steinitz 替換原則可推出 $n\le m$ ，證得 $m=n$ 。換一個講法， $m>n$ 和 $m<n$ 皆不成立，推得 $m=n$ 。福爾摩斯 (Sherlock Holmes) 說^[2]：「當你排除了一切不可能的因素後，剩下來的東西，儘管多麼不可能，也必定是真實的。」

問題 8. 如何度量有限維向量空間的「大小」？

答曰：有限維向量空間的任何一組基底與其他任意基底的向量數相同，因此我們可以用基底的基數 (cardinal number，集合的元素數) 它來度量向量空間的大小。向量空間 $\mathcal{V}$ 的維數，記作 $\dim\mathcal{V}$ ，即為 $\mathcal{V}$ 的基底向量數，例如， $\dim\mathbb{R}^n=n$ ， $\dim\mathcal{O}=0$ 。

問題 9. 如果已知 $\dim\mathcal{V}=n$ ，這告訴我們什麼訊息？

答曰：第一，我們知道 $\mathcal{V}$ 中任何 $n+1$ 個向量必定是線性相關。理由是倘若此 $n+1$ 個向量是獨立的，由 Steinitz 替換原則可知 $n+1\le\dim\mathcal{V}=n$ ，這產生矛盾。第二，給定一組向量 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ ，我們僅需要檢查它是否獨立或者它是否可生成 $\mathcal{V}$ 其中一個條件即可判斷此集合是否為 $\mathcal{V}$ 基底，這是基底與維數定義的必然結果。可以這麼說，基底是最小生成集，也是最大線性獨立集。

問題 10. 子空間的大小也可以用維數來度量嗎？子空間的維數受限於所處的向量空間維數嗎？

答曰：當然可以。如果 $\mathcal{W}$ 是向量空間 $\mathcal{V}$ 的一個子空間，則

$\dim\mathcal{W}\le\dim\mathcal{V}$ ，

等號發生於 $\mathcal{W}=\mathcal{V}$ 。如果 $\dim\mathcal{V}=n$ ，我們知道 $\mathcal{V}$ 中任何 $n+1$ 個向量必定線性相關，這個性質對子空間 $\mathcal{W}$ 同樣適用，因此 $\mathcal{W}$ 的基底向量數不大於 $n$ 。

問題 11. 如果 $\mathcal{U}$ ， $\mathcal{W}$ 是向量空間 $\mathcal{V}$ 的兩個子空間，已知 $\dim\mathcal{U}=2$ ， $\dim\mathcal{W}=3$ ， $\dim\mathcal{V}=4$ ，這表示 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{W}$ 的交集必定包含非零向量嗎？

答曰：這是一個測試學者是否清楚明瞭基底與維數概念的典型問題。由問題 10 可知子空間 $\mathcal{U}$ ， $\mathcal{W}$ ， $\mathcal{U}\cap\mathcal{W}$ 都是有限維，假設 $\dim\mathcal{U}=m$ ， $\dim\mathcal{W}=n$ 。因為 $\mathcal{U}\cap\mathcal{W}$ 同是 $\mathcal{U}$ 與 $\mathcal{W}$ 的子空間，若 $\mathbf{z}_1,\ldots,\mathbf{z}_r$ 為 $\mathcal{U}\cap\mathcal{W}$ 的一組基底，則 $r\le m$ 且 $r\le n$ 。利用 Steinitz 替換原則擴充 $\mathbf{z}_1,\ldots,\mathbf{z}_r$ 可得到 $\mathcal{U}$ 的基底，設為 $\{\mathbf{z}_1,\ldots,\mathbf{z}_r,\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_s\}$ ，和 $\mathcal{W}$ 的基底，設為 $\{\mathbf{z}_1,\ldots,\mathbf{z}_r,\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_t\}$ ，也就有 $r+s=m$ ， $r+t=n$ 。將這些基底向量的生成記為

$\mathcal{U}+\mathcal{W}=\mathrm{span}\{\mathbf{z}_1,\ldots,\mathbf{z}_r,\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_s,\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_t\}$ 。

上面生成集的向量是線性獨立的，因為若 $\mathbf{w}_j$ 可寫為 $\mathbf{z}_1,\ldots,\mathbf{z}_r,\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_s$ 的線性組合，則 $\mathbf{w}_j\in\mathcal{U}\cap\mathcal{W}$ ，也就是說， $\mathbf{w}_j,\mathbf{z}_1,\ldots,\mathbf{z}_r$ 線性相關，這將造成矛盾，故

$\begin{aligned} \dim(\mathcal{U}+\mathcal{W})&=r+s+t=m+n-r\\ &=\dim\mathcal{U}+\dim\mathcal{W}-\dim(\mathcal{U}\cap\mathcal{W}).\end{aligned}$

利用這個結果就可以回答原問題。因為 $\mathcal{U}+\mathcal{W}\subseteq\mathcal{V}$ ，可知 $\mathrm{dim}(\mathcal{U}+\mathcal{W})\le\dim\mathcal{V}$ ，則

$\dim(\mathcal{U}\cap\mathcal{W})\ge\dim\mathcal{U}+\dim\mathcal{W}-\dim\mathcal{V}$ ，

代入數值， $\dim(\mathcal{U}\cap\mathcal{W})\ge 2+3-4=1$ ，這指出 $\mathcal{U}\cap\mathcal{W}$ 必定有非零向量。

問題 12. 基底與維數有什麼用途？

答曰：這個問題沒有簡單的答案。將向量空間 $\mathcal{V}$ 的基底 $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 想像成該空間所有向量的「代表」，因為任意 $\mathbf{v}\in\mathcal{V}$ 都有唯一的表示式：

$\mathbf{v}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n$ ，

當一個線性變換 $T$ 施行於 $\mathcal{V}$ ，沒有必要考慮 $\mathcal{V}$ 中個別向量 $\mathbf{v}$ 的像 $T(\mathbf{v})$ ，我們只要知道基底向量 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ 的映射行為即可。利用線性變換性質，

$\begin{aligned} T(\mathbf{v})&=T(c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n)\\ &=c_1T(\mathbf{x}_1)+\cdots+c_nT(\mathbf{x}_n).\end{aligned}$

上式的意義是向量 $\mathbf{v}$ 以 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ 表達的線性組合與像 $T(\mathbf{v})$ 以 $T(\mathbf{x}_1),\ldots,T(\mathbf{x}_n)$ 表達的組合有相同的權重。不僅完整的向量空間如此，任何子空間也都具有此性質，這是向量空間分析經常使用的基本技巧。設子空間 $\mathcal{W}\subseteq\mathcal{V}$ 的基底為 $\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_k\}$ ， $k\le n$ ，上述結果也說明線性變換 $T$ 將子空間 $\mathcal{W}$ 映射至另一個子空間 $T(\mathcal{W})=\mathrm{span}\{T(\mathbf{w}_1),\ldots,T(\mathbf{w}_k)\}$ 。所以，我們可以透過觀察基底與維數的變化來探討線性變換究竟如何改變子空間，詳細內容請讀者參閱“線性代數基本定理(一)”。下圖總結向量空間的幾個基本概念的關係。

線性組合、線性獨立、生成、基底、子空間、維數與座標

註解
[1] 空集合 $\emptyset$ 生成零向量空間 $\{\mathbf{0}\}$ ，或說「無中生零」。2000年3月27日，交通大學舉辦「人文與科技三賢鼎談」，三賢是指法鼓山聖嚴法師，交通大學校長張俊彥與清華大學校長劉炯朗。會中有一段談話，抄錄於下 (取自《聖嚴法師與科技對話》)。

聖嚴法師：我到要請教一下，「零」究竟是有還是沒有？

張俊彥：也是有，也是沒有。無窮大也是有，也是沒有；無窮大好像存在，可是拿不到，所以也是有，也是沒有。

劉炯朗：非相非非相，假如用來解釋數學，零不是正，不是負。假如一被零除，就變成無窮大。把有限的分成零份，每份就變成無窮大。

聖嚴法師：在我的看法，零是有的，並不是等於沒有。當把零去掉了以後，才是真正的沒有。

劉炯朗：在數學上來講，沒有零，就無法建立一個完整的數學系統。

聖嚴法師：這個道理就是，當東西被量化時，它就一定是有的，而且也一定是有限的。

張俊彥：所以，零的發明是非常具關鍵性的。如果沒有這個零的話，甚麼都沒有；有了零，就甚麼都有了。

[2] 原文：“When you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth.”

5 Responses to 基底與維數常見問答集

Anonymous says:

11/26/2010 at 1:46 am

向量空間{0}的基底不是定義為空集合嗎？

ccjou says:

11/26/2010 at 8:27 am

也許應該這麼說：任何向量空間都包含零向量，而且僅有唯一一個向量空間裡面只有零向量，記為 $\mathcal{O}=\{0\}$ 。當我們說某向量空間的基底是 $\{x_1,\ldots,x_n\}$ 就必須排除 $n=0$ 的情況，因為我們先定義基底是線性獨立的向量。但如果承認基底可以是空集合，則空集合便是線性獨立的，且可生成零向量。

黃俊榮 says:

10/26/2012 at 12:57 am

我想問一下，基底一定是正交嗎 ? 因為依照基底的定義來看，一定要線性獨立，也就是有可能兩向量是平行或90度的，而正交的定義 :內積要為0，所以有可能是兩向量構成平行或互為90度，這樣會成立嗎?

- ccjou says:
  
  10/26/2012 at 8:49 am
  
  一組彼此正交的向量集必定是線性獨立的，但是線性獨立未必正交。譬如，(1,1) 和 (1,0) 是線性獨立集，但內積等於1。若二向量平行，將它們起點放在原點，則端點落在同一直線上，因此線性相依。譬如，(1,1) 和 (2,2)。
  
范智忠 says:

12/18/2017 at 10:41 pm

請問老師稍微和分析有關的問題
我該如何去證明 R^n空間不會是可數個n-1維子空間的聯集

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