## 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義

$\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&2\\ 3&-2 \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&-1\\ 1&3 \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} 1\cdot 2&2\cdot (-1)\\ 3\cdot 1&(-2)\cdot 3 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&-2\\ 3&-6 \end{array}\!\!\right]$

$\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&2\\ 3&-2 \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&-1\\ 1&3 \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} 1\cdot 2+2\cdot 1&1\cdot (-1)+2\cdot 3\\ 3\cdot 2+(-2)\cdot 1&3\cdot (-1)+(-2)\cdot 3 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cr} 4&5\\ 4&-9 \end{array}\!\!\right]$

\begin{aligned} x^{\prime}&=ax+by\\ y^{\prime}&=cx+dy.\end{aligned}

1855年，凱萊正著手線性複合 (composition) 映射的研究。線性映射 (linear mapping) 涵蓋許多數學主題，這需要作一番說明。設定義域 (domain) $\mathcal{D}$ 與值域 (range) $\mathcal{R}$ 為具有加法和純量乘法的集合，我們稱 $f:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{R}$ 為線性映射，如果任意 ${x},{y}\in\mathcal{D}$ 滿足這兩個條件：

\begin{aligned} f({x}+{y})&=f({x})+f({y})\\ f(c{x})&=cf({x}),\end{aligned}

\begin{aligned} \displaystyle\frac{d(f+g)}{dx}&=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}\\ \displaystyle\frac{d(cf)}{dx}&=c\frac{df}{dx},\end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} \int(f+g)dx&=\int fdx+\int gdx\\ \int(cf)dx&=c\int fdx.\end{aligned}

\begin{aligned} f(A+B)&=(A+B)^T=A^T+B^T=f(A)+f(B)\\ f(cA)&=(cA)^T=cA^T=cf(A).\end{aligned}

$f\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} ax+by\\ cx+dy \end{matrix}\right)$

$g\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} px+qy\\ rx+sy \end{matrix}\right).$

\begin{aligned} h\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)&=f\left(g\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)\right)=f\left(\begin{matrix} px+qy\\ rx+sy \end{matrix}\right)\\ &=\left(\begin{matrix} a(px+qy)+b(rx+sy)\\ c(px+qy)+d(rx+sy) \end{matrix}\right)\\ &=\left(\begin{matrix} (ap+br)x+(aq+bs)y\\ (cp+dr)x+(cq+ds)y \end{matrix}\right).\end{aligned}

$F=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix},~ G=\begin{bmatrix} p&q\\ r&s \end{bmatrix},~ H=\begin{bmatrix} ap+br&aq+bs\\ cp+dr&cq+ds \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p&q\\ r&s \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ap+br&aq+bs\\ cp+dr&cq+ds \end{bmatrix}$

[1] Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972. 原文：“One could say that the subject of matrices was well developed before it was created.”
[2] Eric T. Bell, The Development of Mathematics, 1945. 原文：“I certainly did not get the notation of a matrix in any way through quaternions; it was either directly from that of a determinant; or as a convenient way of expression of the equations

\begin{aligned} x^{\prime}&=ax+by\\ y^{\prime}&=cx+dy."\end{aligned}

[3] Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, 2000, pp 93.
[4] 設想凱萊考慮這兩個線性變換

$f\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} ax+by\\ cx+dy\\ ex+fy \end{matrix}\right)$

$g\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} px+qy\\ rx+sy \end{matrix}\right).$

\begin{aligned} h\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)&=f\left(g\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)\right)=f\left(\begin{matrix} px+qy\\ rx+sy \end{matrix}\right)\\ &=\left(\begin{matrix} a(px+qy)+b(rx+sy)\\ c(px+qy)+d(rx+sy)\\ e(px+qy)+f(rx+sy) \end{matrix}\right)\\ &=\left(\begin{matrix} (ap+br)x+(aq+bs)y\\ (cp+dr)x+(cq+ds)y\\ (ep+fr)x+(eq+fs)y \end{matrix}\right).\end{aligned}

$F=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ e&f \end{bmatrix},~ G=\begin{bmatrix} p&q\\ r&s \end{bmatrix},~ H=\begin{bmatrix} ap+br&aq+bs\\ cp+dr&cq+ds\\ ep+fr&eq+fs \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ e&f \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p&q\\ r&s \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ap+br&aq+bs\\ cp+dr&cq+ds\\ ep+fr&eq+fs \end{bmatrix}$

### 15 Responses to 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義

1. Watt Lin 說道：

這篇文章，我覺得很重要，幫助學生知其然也知其所以然。
假如當年唸高中的時候，能夠看到這篇文章，頭腦會很清晰，甚至可以說全身舒暢。
我這樣講，並不誇張，學生們的學習，有時像一隻牛，被繩子牽著走，老師指導怎麼計算，就依樣畫葫蘆地計算，考試便可拿到分數。
如果想要瞭解定義的來源，有可能會「浪費」時間去讀「不重要」的文章，然後考試成績不理想。
我認為，把來龍去脈弄清楚，是很重要的，要知道自己在計算什麼，而不只是為了考試拿高分。

希望大俠繼續寫這類文章，謝謝！

2. ccjou 說道：

知識一旦變成考試問題就會走樣，在東方社會尤其如此。

亞里斯多德堅持只有當我們明瞭事物的原因才能算是獲得此事物的知識。根據他的四因說，矩陣可以這麼解釋：
質料因 what is it made of? 矩陣是數字陣列造出來的。
形式因 what is it? 矩陣既是向量空間物件也是線性變換表示。
有效因 by waht is it made? 這包含矩陣理論和線性代數。
最終因 for what end is it made? Cayley 提出矩陣乘法只是為了方便表示線性複合函數，他的矩陣理論完全是純數學，不以應用為目的。1925年，矩陣理論首次應用於量子力學，真正廣泛應用要等到1950年之後。

• suehang 說道：

愚以为Cayley的提法是最符合学生思维认知习惯的提法.

3. lisp21 說道：

我觉得矩阵加法亦有说明之必要，矩阵加法的定义也并不是显然的。

矩阵本身就是映射的representation.Cayley这个定义太妙了。

数学上的大的发现和思想并不一定有多困难，比方Descrate的解析几何，其思想何其简单，但其后续则如大江大河，汹涌澎湃。

• suehang 說道：

我也是这样认为的,尤其是这样看能够解释矩阵乘法,它无外乎就是复合线性变换,也就能够解释矩阵乘法没有交换律的原因了(复合函数内外层是不可交换的),,同时,我也不能忘记第一次突兀地接触矩阵乘法规则这个怪物时的巨大恶心感!

4. ccjou 說道：

矩阵加法的定义也并不是显然的？

如果上課時有學生如此提問，那麼全班同學一定轉過身盯著他(她)瞧？心想：這傢伙是不是來搗亂的？

矩陣加法的定義可能還是得從“矩陣代表何物”解釋。

5. ariestiger 說道：

有一点小错，线性函数的微分也是线性函数时， 式子中最后应该是d g/ dx
即：d(f + g)/dx = d f/dx + d g/dx
这个能输入数学公式吗？看样子不能啊，你能看懂就好。

• ccjou 說道：

謝謝指正，已修訂。廻響可輸入LaTeX公式，方法是在LaTeX指令前加入$latex，空格，之後再鍵入$。

• suehang 說道：

您没有输入错呀!

• ccjou 說道：

本來的確是我打錯公式了，你現在看到的是改正後的版本。

6. joge 說道：

Cayley关于线性函数的表示已经隐含了矩阵和向量乘法的定义

7. 嗚呼呼 說道：

谢谢你的这篇文章：）

8. Yu-Min Lai 說道：

漂亮的文章，讓我愛不釋手。

9. suehang 說道：

要让学生停止"发明"各种矩阵乘法,愚以为惟一的方法只能是从根源上革新线性代数的教法,先用具体例子讲清楚线性空间,进而讲清楚线性变换,再结合复合映射的概念,和线性变换的矩阵表示来说清矩阵乘法,您的观点我无比赞同,说实话,我是受大陆线性代数教法受害极深的人,我是到了研究生阶段才知道线代的巨大价值和威力,您的文章能这样讲矩阵乘法,是你学生的幸运呀!

• ccjou 說道：

引述：您的文章能这样讲矩阵乘法,是你学生的幸运呀!

慚愧，其實我上課也不提這段歷史。礙於時間有限，通常我講完高斯消元法後，便偷偷引進矩陣乘法運算使與基本列運算(初等行變換)有一致性。至今尚沒有學生舉牌抗議。