每週問題 June 28, 2010

這是關於分塊矩陣行列式的計算問題。

Pow-June-28-10

參考解答

PowSol-June-28-10

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2 則回應給 每週問題 June 28, 2010

  1. tianpeng 說道:

    这个题目我当时想了一段时间,我是这么解的:
    如果矩阵
    \begin{bmatrix}A\\ C\end{bmatrix}
    不是行满秩的,也就是说它的行向量线性相关,那么
    \det(A)=\det(C)=0
    从而可以推出结论。反之,如果
    \begin{bmatrix}A\\ C\end{bmatrix}
    是行满秩的,那么根据题设条件,矩阵
    \begin{bmatrix}B\\ D\end{bmatrix}
    的每一行都是
    \begin{bmatrix}A\\ C\end{bmatrix}
    的行向量的线性组合,也就是存在 n\times n 阶矩阵 E 使得
    B=AE,D=CE
    那么
    \det(B)=\det(A)\det(E),\det(D)=\det(C)\det(E)
    同样也可推出结论。

    对我来说这样解显得更自然一些,看到您的解答,还有最近贴出的另一道利用分块矩阵乘法解答的行列式问题,很想知道这种思路是怎么想出来的,它们有什么共同的套路吗?或者是有什么别的启发可以诱导设计出恰当的矩阵分块乘法?

  2. ccjou 說道:

    謝謝你提供的解答,從矩陣秩的意義下手解題確實比參考解答的代數方法來的自然。

    分塊矩陣乘法常需要花心思設計,沒有什麼固定的套路,我可能還要花點時間研究整理已知的一些「設計指南」。不過,本題的思路其實很單純,它源於消去法的矩陣運算,例如,
    EA=\begin{bmatrix} 1&0\\ -3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&-1\\ 6&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&-1\\ 0&7 \end{bmatrix}=B
    E 是下三角形基本矩陣主對角元為 1。推廣至二階分塊矩陣:
    \begin{bmatrix} I&0\\ X&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A&B\\ 0&Y \end{bmatrix}
    可知 XA+C=0XB+D=Y,解出唯一 XY。當然啦,我們要先想到將 A 下面的分塊 C 消去才行。背後動機是:化簡,然後分別解決 (divide and conquer)。

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