座標變換與基底變換的對應關係

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基底 (或簡稱基) 是附著於向量空間的一組座標系統。設 是 維向量空間 的一組基底，我們知道任何向量 都可以寫成基底向量 的線性組合

而且權重 由向量 唯一決定。將有序純量 視為 向量 (複數空間則為 )，記作 ，意指 參考基底 的座標向量。因為向量 和座標向量 存在一對一的映射關係：

我們稱向量空間 和幾何向量空間 是同構的 (isomorphic，“同構的向量空間”)。座標映射的實際功用是把發生於向量空間 的問題搬移至另一個富含幾何意義的 空間來處理，待處理完畢後，再將結果轉換回原本的 空間。顯然，一向量若參考不同的座標系統 (即基底)，便有不同的座標；反過來講，在不同的座標系統下，同一座標向量則對應不同的向量。本文稱前者為座標變換 (change of coordinates)，後者為基底變換 (change of basis)。不過，這僅是為了方便討論才如此區分，許多文獻並不必然採用本文的定義。

 
座標變換：設向量空間 有兩組基底 ，。對於 ，若 ，問座標向量 和 有什麼關係？

基底變換：設 為包含 個純量的有序集合，問向量 和 的關係為何？

 
座標變換和基底變換的問題陳述均未提及線性變換，實際上，解決這兩個問題的最有效途徑就是線性變換理論。先回答基底變換問題，切入點在於建立兩組基底之間的聯繫。設線性變換 定義由 至 的基底變換，對於 ，

利用這個關係式可以替換基底，再搭配線性變換基本性質便導出

注意，基底變換 是可逆的，因為 意味 ，亦即 ，得知 。所以， 即為 至 的反向基底變換，，也就有 。

 
運用線性變換理論也很容易解決向量 於不同座標系統下的轉換問題，作法是先用線性組合來描述基底 和 之間的聯繫，再利用這個基底關係將 於基底 的表達式轉換成參考 的表達式。請特別注意，我們考慮的基底映射方向是由 至 ，但座標向量的計算方向卻相反，稍後將會解釋其中原因。首先將 ，，以另一組基向量 的線性組合表示：

接著考慮 ，代入上面的基底關係式，再運用線性變換性質重組，可得

另一方面，，因此得到

用下列矩陣乘法可以清楚表示兩組座標之間的轉換：

基底變換 和 階座標變換矩陣 之間存在著什麼關係？從先前使用的兩個關鍵方程式 和 ，得知

矩陣 的第 行正是 參考基底 的座標向量：

換句話說， 階座標變換矩陣 即為基底變換 參考基底 的表示矩陣 (見“線性變換表示矩陣”，關於參考不同基底的線性變換表示矩陣，請參閱“基底變換”)。基底變換 描述由基底 至基底 的線性變換：

座標變換矩陣 則提供了從座標向量 至另一座標向量 的線性變換：

座標變換與基底變換構成了方向相反的一對一對應關係。這個奇特的現象可能令許多人感到困惑，下面我們舉一個例子說明詳細的演算步驟，希望能夠增進讀者對於基底變換與座標變換的理解。

 
設 為二次函數 構成的向量空間。考慮兩組基底

如果已知 ，如何將 參考基底 的座標向量 以 表示？計算步驟如下。

步驟一：設基底 至基底 的線性變換 滿足

步驟二：寫出 ，， 參考基底 的線性組合，如下：

比較等號兩邊係數，可解出由 至 的座標變換矩陣：

步驟三：以矩陣乘法執行座標變換：

 
補註：為了更清楚展示座標變換和基底變換的「相反關係」，考慮向量空間 。令 和 是 的二組基底，且 為一 階可逆矩陣使得 ，。將線性方程組表示為矩陣形式 ，其中 ， 皆為 階可逆矩陣，因為 和 是線性獨立集。令 階矩陣 代表 參考基底 的表示矩陣，即有

或

。

設 ，且 ，，則

，

此即

。

所以，

。

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