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令 為一個
階矩陣,
的跡數 (trace,或簡稱跡) 定義為主對角元之和,如下:
。
跡數 與行列式
都是方陣
的函數,但跡數不像行列式擁有豐富的數學性質與應用,因此通常只零星出現於基礎線性代數課本裡的練習問題中。本文介紹跡數的運算規則,並推導一些特殊矩陣的跡數性質以及跡數於矩陣內積運算的應用。
矩陣 的特徵值
與其跡數和行列式存在一個簡單的關係:
跡數為特徵值之和,而行列式則為特徵值之積 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”)。因為矩陣指數 的特徵值為
,由上面兩個性質可以導出矩陣指數的行列式等於跡數的指數:
。
此外,我們知道一個 階實方陣的行列式絕對值
等於
的
個行向量於
空間張開的平行多面體體積 (參閱“行列式的幾何意義”),但跡數並沒有對等的簡明幾何意義。粗淺的說,跡數描述了行列式所表示的體積的微小變量,這是根據矩陣微分學的 Jacobi 公式 (推導過程見文末註解[1]):
,
其中 是
的伴隨矩陣 (adjugate,見“伴隨矩陣”)。
下面討論跡數與 ,
,
,和
相關的三個性質。
性質一:跡數是一個 階矩陣的線性函數,滿足
使用定義即可證明,
性質二:轉置與共軛轉置 (conjugate transpose,見“轉置與共軛轉置”) 的跡數如下:
其中 表示
的共軛。這個性質十分明顯,無須多作解釋。
性質三:兩個矩陣之積的跡數滿足交換律,稱為循環不變性。設 為
階,
為
階,則
。
上式中 和
皆為方陣,但尺寸可以不同。分別展開跡數算式,
。
同樣地,
。
觀察確認上面兩式相等無誤。另一個方法是利用特徵值來證明。矩陣乘積 和
擁有相同 (含相重數) 的非零特徵值集合 (見“AB 和 BA 有何關係?”和“分塊矩陣的解題案例──逆矩陣與矩陣乘積的特徵值”),故
和
也有相同的特徵值和。
既然跡數為特徵值之和,跡數自然反應矩陣的部分性質。簡單的例子如 ,單位矩陣的跡數等於座標向量空間
的維數。其他較特殊的情況也不難由跡數的基本性質推得。
例一:冪零 (nilpotent) 矩陣 的特徵值都為
(見“特殊矩陣(1):冪零矩陣”),故
。
例二:相似變換不改變一個矩陣的跡數。若 為一個可逆矩陣,則
。
利用性質三,
。
由相似變換不改變特徵值 (見“相似變換下的不變性質”) 也可以推論跡數亦為相似變換下的不變性質之一。
例三:投影矩陣或稱冪等 (idempotent) 矩陣 滿足
。
設 ,
為子空間
的投影矩陣。令
和
分別為
和
的基底,則
是一個
階可逆矩陣。投影矩陣
可由下列公式算出 (見“直和與投影”):
,
可知 相似於
,故
。
例四:對稱矩陣與反對稱矩陣乘積的跡數為零。若 為一個
階對稱矩陣,
為一個
階反對稱矩陣,則
。
由已知 ,
,可得
。
但 ,就有
,故
。
最後我們解釋如何用跡數來表達矩陣的內積。考慮 階矩陣形成的向量空間,我們定義兩個實矩陣的標準內積為 (見“內積的定義”)
。
因為
,
實矩陣的內積可用跡數表示如下:
,
複矩陣的內積則為
。
量測矩陣大小的 Frobenius 矩陣範數也常以跡數表示,若 為一個實矩陣,則
。
再者,利用內積產生的不等式很容易推論對應的跡數不等式,例如,從 可推得
。
以實矩陣的內積 取代一般的內積
,就有
。
將上式的 替換為
,利用性質三即可得到下面的不等式:
。
註解
[1] 設 是一個
階可微矩陣函數。底下證明 Jacobi 的行列式微分公式
,
其中 是
的伴隨矩陣,
是
的微分。使用行列式的餘因子 (cofactor) 公式 (見“行列式的運算公式與性質”),
其中 是對應
的餘因子 (見“伴隨矩陣”),
是 Kronecker 記號 (
若
,
若
)。因此,
上式中, 與
是同階方陣。
请问老师,本文中的bar符号是什么含义呢?谢谢您。
bar代表conjugate,共軛。文中已增添說明。
多谢老师。
老師 您好
請問有沒有更詳細的Jacobi 的行列式微分公式說明
有點看不太懂
原本的推導有一處打印錯誤,已經訂正。如果仍有疑問請你再提出來。
inspired much after re-reading