特殊矩陣 (13)：反對稱矩陣

Posted on 08/27/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：中級

若 $n\times n$ 階矩陣 $A=[a_{ij}]$ 滿足 $A=-A^T$ ，即 $a_{ij}=-a_{ji}$ ，我們稱 $A$ 為反對稱矩陣 (anti-symmetric) 或斜對稱矩陣 (skew-symmetric)。因為 $a_{ii}=-a_{ii}$ ，反對稱矩陣的主對角元必為零，推得 $\mathrm{trace}A=0$ 。下為反對稱矩陣一例：

$\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&2&-3\\ -2&0&1\\ 3&-1&0 \end{array}\!\!\right]$ 。

僅由外表很難一窺反對稱矩陣蘊含的性質，下面我們探討反對稱矩陣在向量空間、行列式、特徵值以及矩陣函數的一些表現。在一般情況下，反對稱矩陣限定於實矩陣，推廣至複矩陣則將轉置替換為共軛轉置，這時稱為斜─Hermitian 矩陣。

任何一個 $n\times n$ 階矩陣 $A$ 必可表示為對稱矩陣與反對稱矩陣之和，稱為卡氏分解 (Cartesian decomposition)： $A=B+C$ ，其中 $B=B^T$ ， $C=-C^T$ ， $B$ 和 $C$ 由 $A$ 唯一決定。利用前面三個條件式計算 $A^T$ ，可得 $A^T=B^T+C^T=B-C$ ，再聯合第一式可解出

$\displaystyle B=\frac{1}{2}\left(A+A^T\right)$ ，

$\displaystyle C=\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)$ 。

卡氏分解的直接應用在於計算方陣的二次型。設 $\mathbf{x}$ 為一 $n$ 維向量，則

$\mathbf{x}^TC\mathbf{x}=(C\mathbf{x})^T\mathbf{x}=\mathbf{x}^TC^T\mathbf{x}=\mathbf{x}^T(-C)\mathbf{x}=-\mathbf{x}^TC\mathbf{x}$ ，

推得 $\mathbf{x}^TC\mathbf{x}=0$ 。所以，二次型僅需針對卡氏分解的對稱部分計算：

$\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\displaystyle\mathbf{x}^T\left(\frac{A+A^T}{2}\right)\mathbf{x}$ ，

這解釋了為何我們在討論實正定矩陣時總是附帶加上對稱矩陣此條件 (見“特殊矩陣(6)：正定矩陣”)。

反對稱矩陣滿足矩陣加法和純量乘法封閉性。若 $A$ 和 $B$ 是反對稱矩陣， $c$ 是一個純量，則 $(A+B)^T=A^T+B^T=-A-B=-(A+B)$ 且 $(cA)^T=cA^T=-cA$ ，故 $A+B$ 和 $cA$ 也是反對稱矩陣。令 $\mathbb{F}^{n\times n}$ ( $\mathbb{F}$ 可為 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ) 代表 $n\times n$ 階矩陣所構成的向量空間，反對稱矩陣為 $\mathbb{F}^{n\times n}$ 的一子空間，以 $\mathcal{K}_n$ 表示，且 $\dim\mathcal{K}_n=n(n-1)/2$ ，此即所有滿足 $i<j$ 的 $(i,j)$ 元總數。運用類似方式可以證明對稱矩陣同樣也是 $\mathbb{F}^{n\times n}$ 的一子空間，以 $\mathcal{S}_n$ 表示，而 $\dim\mathcal{S}_n=n(n+1)/2$ ，此即所有滿足 $i\ge j$ 的 $(i,j)$ 元總數。不難驗證 $\mathcal{S}_n\cap\mathcal{K}_n=\{0\}$ 且 $\mathrm{dim}\mathcal{S}_n+\mathrm{dim}\mathcal{K}_n=n^2$ ，故知反對稱矩陣是對稱矩陣的補子空間。不僅如此， $n\times n$ 階實矩陣為一內積空間，若 $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，我們定義下列內積運算 (見“跡數的性質與應用”)：

$\left\langle A,B\right\rangle=\mathrm{trace}(A^TB)$ 。

對於任意 $B\in\mathcal{S}_n$ ， $C\in\mathcal{K}_n$ ，即有 $B^TC=B(-C^T)=-BC^T$ ，再利用矩陣乘積跡數符合交換律與轉置不改變跡數兩性質，可得

$\begin{aligned} \left\langle B,C\right\rangle&=\mathrm{trace}(B^TC)=-\mathrm{trace}(BC^T)=-\mathrm{trace}(BC^T)^T\\ &=-\mathrm{trace}(CB^T)=-\mathrm{trace}(B^TC)=-\left\langle B,C\right\rangle,\end{aligned}$

因此 $\left\langle B,C\right\rangle=0$ ，也就是說實矩陣滿足 $\mathcal{S}_n\perp\mathcal{K}_n$ ，這進一步說明反對稱矩陣是對稱矩陣的正交補餘， $\mathcal{K}_n=\mathcal{S}_n^{\perp}$ 。下面是此結果的一個簡單應用：對於任意 $n\times n$ 階實矩陣 $A$ ，最近似 $A$ 的實對稱矩陣就是 $A$ 至子空間 $\mathcal{S}_n$ 的正交投影，亦即 $\frac{A+A^T}{2}$ ，而 $A$ 偏離對稱矩陣的大小可以用 $A$ 至子空間 $\mathcal{S}_n$ 的距離表示 (見“矩陣範數”)：

$\displaystyle\left\Vert A-\frac{A+A^T}{2}\right\Vert_F=\left\Vert\frac{A-A^T}{2}\right\Vert_F=\sqrt{\frac{1}{2}\mathrm{trace}(A^TA)-\frac{1}{2}\mathrm{trace}(A^2)}\ge 0$ ，

上式等號發生於 $A=A^T$ 。

接下來，我們討論反對稱矩陣的行列式性質。使用行列式性質，

$\det A=\det A^T=\det(-A)=(-1)^n\det A$ 。

若 $n$ 是奇數，上式給出 $\det A=-\det A$ ，則 $\det A=0$ ， $A$ 是不可逆矩陣，這個結果稱作 Jacobi 定理。若 $n$ 是偶數，行列式可以寫成非零元的多項式的平方，故任意實反對稱矩陣的行列式是非負數：

$\det A=\mathrm{Pf}(A)^2$ ，

多項式 $\mathrm{Pf}(A)$ 叫做 $A$ 的 Pfaffian，下為 $n=2$ 和 $n=4$ 的例子：

$\left|\!\!\begin{array}{rc} 0&a\\ -a&0 \end{array}\!\!\right|=(a)^2$ ，

$\left|\!\!\begin{array}{rrrc} 0&a&b&c\\ -a&0&d&e\\ -b&-d&0&f\\ -c&-e&-f&0 \end{array}\!\!\right|=(af-be+cd)^2$ 。

令矩陣譜 $\sigma(A)$ 表示實矩陣 $A$ 的相異特徵值所形成的集合。我們知道 $A$ 和 $A^T$ 有相同的特徵多項式：

$\det(tI-A)=\det(tI-A)^T=\det(tI-A^T)$ ，

也就有 $\sigma(A)=\sigma(A^T)$ ，故反對稱矩陣 $A$ 滿足 $\sigma(A)=\sigma(-A)$ ，由此推論反對稱矩陣的特徵值只有兩種情況：一是 $0$ ，二是以共軛方式出現的純虛數。另一個證明方法直接從特徵方程 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ 下手。因為 $A$ 是實矩陣，共軛運算得到 $A\overline{\mathbf{x}}=\overline{\lambda}\overline{\mathbf{x}}$ ，等號兩邊取轉置便有 $\overline{\mathbf{x}}^T{A}^T=\overline{\lambda}\overline{\mathbf{x}}^T$ 。上式右乘 $\mathbf{x}$ ，左邊是

$\overline{\mathbf{x}}^T{A}^T\mathbf{x}=-\overline{\mathbf{x}}^T{A}\mathbf{x}=-\overline{\mathbf{x}}^T\lambda\mathbf{x}=-\lambda\overline{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}$ ，

與右邊比較即得 $(\lambda+\overline{\lambda})\,\overline{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}=0$ ，然而 $\overline{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}\neq 0$ ，除非 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，故 $\lambda+\overline{\lambda}=0$ 。將 $\lambda=a+ib$ ( $a,b\in\mathbb{R}$ ， $i=\sqrt{-1}$ ) 代入上式，解出 $a=0$ ，故 $\lambda$ 為一個純虛數。

最後，我們討論由反對稱矩陣構造的矩陣函數。若 $A$ 和 $B$ 是反對稱矩陣，則 $AB-BA$ 也是反對稱矩陣，驗證如下：

$(AB-BA)^T=B^TA^T-A^TB^T=(-B)(-A)-(-A)(-B)=-(AB-BA)$ 。

利用跡數性質也可以得到 $\mathrm{trace}(AB-BA)=\mathrm{trace}(AB)-\mathrm{trace}(BA)=0$ 。反對稱矩陣 $A$ 的平方 $A^2$ 為對稱矩陣，因為 $(A^2)^T=(AA)^T=A^TA^T=(-A)(-A)=A^2$ 。繼續推廣不難歸納出冪矩陣 $A^k~(k\ge 1)$ 性質：若 $k$ 為奇數，則 $A^k$ 是一個反對稱矩陣，若 $k$ 為偶數，則 $A^k$ 是一個對稱矩陣。比較特別的是反對稱矩陣 $A$ 的矩陣指數 $e^{A}$ 是一個正交矩陣，因為

$\displaystyle (e^{A})^T=\left(I+A+\frac{A^2}{2!}+\cdots\right)^T=\left(I-A+\frac{(-A)^2}{2!}+\cdots\right)=e^{-A}$ ，

就有 $(e^{A})^T(e^A)=e^{-A}e^{A}=e^{-A+A}=e^{0}=I$ 。考慮反對稱矩陣出現於微分方程 $\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}(t)$ 的情形。微分方程解由矩陣函數決定 $\mathbf{u}(t)=e^{At}\mathbf{u}_0$ ，由於正交矩陣不改變向量長度， $\Vert\mathbf{u}(t)\Vert=\Vert e^{At}\mathbf{u}_0\Vert=\Vert\mathbf{u}_0\Vert$ ，這意味 $e^{At}$ 為旋轉矩陣，而 $\mathbf{u}(t)$ 的運動軌跡是一環繞原點的圓 (參考“解讀複特徵值”)。

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25 Responses to 特殊矩陣 (13)：反對稱矩陣

Rongwei Sun says:

01/06/2016 at 5:16 pm

老師，反對稱矩陣的對角線上如果不是零，且反對稱是複數矩陣，如果要求特徵值，此時怎麼運算呢？是不是可以看成對角矩陣加反對稱矩陣呢？

Reply
- ccjou says:
  
  01/06/2016 at 6:07 pm
  
  反對稱矩陣的主對角元一定是零。如果主對角包含非零元，則不滿足 $A+A^T=0$ ，不能稱為反對稱矩陣。如果 $A$ 是複矩陣滿足 $A+A^\ast=0$ ，則稱為 skew-Hermitian，其特徵值也為純虛數或零。譬如， $\begin{bmatrix} 0&1+i\\ -(1-i)&0 \end{bmatrix}$ ，按照實矩陣的算法計算特徵值。
  
  Reply
  - Rongwei Sun says:
    
    01/06/2016 at 7:57 pm
    
    老師回覆好神速！
    
    Reply
dafyyen says:

03/21/2016 at 4:04 pm

想請問，若零矩陣是否也為反對稱矩陣。或是除對角線元素外，有任一值為零，其對應元素也為零時，者是否也為反對稱矩陣

Reply
- ccjou says:
  
  03/21/2016 at 4:29 pm
  
  用定義查驗：若 $A^T=-A$ ，則 $A$ 是一個反對稱矩陣。
  
  Reply
dafyyen says:

03/21/2016 at 5:42 pm

你好，因為自己認為(0=-0 and A(transpose)= -A，所以我不太清楚這樣是不是為反對稱矩陣，

Reply
- ccjou says:
  
  03/21/2016 at 7:31 pm
  
  零矩陣是唯一一個同時是對稱也是反對稱之矩陣。
  
  Reply
dafyyen says:

03/23/2016 at 12:03 am

周老師：
很感謝您幫我解答疑惑，因為本身自己也認為零矩陣式滿足對稱及反對稱矩陣，但因為遇到某一問題產生另一個方向的疑惑，讓自身以為零矩陣不是？
題目如下:
設M={x|x為整數，−2≤x≤3}，若3階方陣A之元素aij∈M
試問A為反對稱方陣有幾個？
當aii=0 for all i =1,2, 3，且自己本身認為若a12=0, a21=-0; 其他如a13=1, a23=-1, a31=-1, a32=1，應也必為反對稱矩陣，因此本身認為解答為6^3次方，但其解答則否。

Reply
- ccjou says:
  
  03/23/2016 at 6:34 am
  
  $-3\notin M$ ， $6^3$ 多算了。
  
  Reply
dafyyen says:

03/23/2016 at 1:36 pm

老師您好：
我沒有說-3為M的集合內之整數解之一，所以解的組合不是為-2,-1,0,1,2,3，考量在所選擇的上三角元素或是下三角元素的組合排列，剩餘的元素則用aji=-aij(為固定)，因此才會認為為6^3次方。

Reply
- ccjou says:
  
  03/23/2016 at 1:56 pm
  
  因為 $-3\notin M$ ，3不能是 $A$ 的一個非主對角元。將數字-2,-1,0,1,2填入3個上三角非主對角元的方式共有 $5^3$ 。
  
  Reply
dafyyen says:

03/23/2016 at 2:05 pm

老師您好：
感謝，我了解老師的您的解釋，感謝。

Reply
王品傑 says:

03/25/2016 at 10:22 pm

你好:
請問如何證明nxn(n是奇數)的反對稱矩陣是singular呢?

Reply
- ccjou says:
  
  03/25/2016 at 10:38 pm
  
  $A^T=-A \Rightarrow \det A=\det A^T=\det(-A)=(-1)^n\det A$
  若 $n$ 是奇數， $\det A=-\det A\Rightarrow \det A=0$
  
  Reply
买文鼎 says:

07/26/2016 at 6:05 pm

老师好，
斜对称矩阵两边都乘以虚数单位i后可以变为Hermitian阵。该Hermitian阵的特征值大小相等，符号相反。我想对该矩阵做PCA主成份分析但遇到了困难，不知道怎样从乘以i后的问题还原为原来问题。

我想问：斜对称矩阵通过以上思路做PCA能否可行？具体应该怎么做？
谢谢老师

Reply
ccjou says:

07/27/2016 at 7:39 am

我不明白「斜对称矩阵两边都乘以虚数单位i后可以变为Hermitian阵」的確實意義，譬如 $\begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{bmatrix}$ 要怎麼變換為Hermiitan？

Reply
- 买文鼎 says:
  
  07/27/2016 at 11:11 am
  
  老师好，
  
  可能我没表述清楚我的意思。
  [0 1
  -1 0]
  乘以虚数单位i变为：
  [0 i
  -i 0]
  令为矩阵A，A*=A，所以A为Hermitian矩阵。
  
  Reply
  - ccjou says:
    
    07/27/2016 at 11:32 am
    
    $A=\begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{bmatrix}$ 的特徵值為 $i$ 與 $-i$ ， $B=iA=\begin{bmatrix} 0&i\\ -i&0 \end{bmatrix}$ 的特徵值為 $-1$ 與 $1$ 。矩陣 $B$ 是Hermitian，但並非半正定(因特徵值有負值)。PCA僅適用於半正定矩陣，譬如， $A^TA$ 或 $B^\ast B$ 。
    
    Reply
H. Dong says:

05/30/2017 at 11:08 am

老师您好，反对称矩阵的范数为什么等于反对称矩阵所对应的向量的范数？

Reply
- ccjou says:
  
  05/30/2017 at 11:32 am
  
  我不明白「反对称矩阵所对应的向量」，請舉個例子好嗎？
  
  Reply
  - kaerfuka says:
    
    06/06/2017 at 9:12 am
    
    我估计应该是周老师所说的”外积矩阵”（大陆没有“外积矩阵”这种说法），即一个三阶反对称矩阵所对应的向量
    
    Reply
    - H. Dong says:
      
      06/18/2017 at 9:06 am
      
      是的，就是这个意思
      
      Reply
  - H. Dong says:
    
    06/18/2017 at 9:06 am
    
    周老师您好，就是两个向量做外积运算的时候，也可以表示成一个向量的外积矩阵（就是反对称矩阵）和另一个向量做数量积运算。那么外积矩阵的范数与它所对应的向量的范数为什么相等？
    
    Reply
    - ccjou says:
      
      06/21/2017 at 3:40 pm
      
      你是說形如底下的矩陣？
      $\begin{bmatrix} \mathbf{u} \end{bmatrix}_{\times}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&-u_3&u_2\\ u_3&0&-u_1\\ -u_2&u_1&0 \end{array}\!\!\right]$
      向量範數與矩陣範數是哪一種？不難計算出兩者的範數。
      https://ccjou.wordpress.com/2013/08/13/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%AF%84%E6%95%B8/
      https://ccjou.wordpress.com/2010/05/10/%E7%9F%A9%E9%99%A3%E6%A8%A1/
      
      Reply
      - H. Dong says:
        
        06/27/2017 at 2:03 pm
        
        谢谢周老师！
        
        Reply

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