就是要相似

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相似是一種非常重要的矩陣等價關係。設 ABn 階方陣,如果存在一個可逆矩陣 S 使得 B=SAS^{-1},我們說 B 相似於 A。所有的相似矩陣構成一個矩陣大家族,這個家族裡的成員擁有許多相同的「基因」,例如,矩陣秩,特徵值,行列式,跡數,與 Jordan 形式等(見“相似變換下的不變性質”)。下面整理了一些常見的相似矩陣關係,證明使用基本矩陣代數以及進階方法如 Jordan 典型形式和奇異值分解。

 
(1) A^T 相似於 A

詳細的證明請見“矩陣與其轉置的相似性”。共軛轉置 A^{\ast} 未必相似於 A,因為方陣 AA^{\ast} 不總是有相同的特徵多項式,見下例,

A=\begin{bmatrix}    1&i\\    1&0    \end{bmatrix}

其中 i=\sqrt{-1}。計算行列式可以確認 \mathrm{det}(A-\lambda I)\neq\mathrm{det}(A^{\ast}-\lambda I)

\begin{aligned}  \det(A-\lambda I)&=\begin{vmatrix}    1-\lambda&i\\    1&-\lambda    \end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda-i\\    \det(A^{\ast}-\lambda I)&=\begin{vmatrix}    1-\lambda&1\\    -i&-\lambda    \end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda+i\end{aligned}

 
(2) 若 B 相似於 A,則 B^2 相似於 A^2B^{T} 相似於 A^T,又如果 AB 是可逆的,則 B^{-1} 相似於 A^{-1}

B=SAS^{-1},就有 B^2=SAS^{-1}SAS^{-1}=SA^2S^{-1}。利用性質 (1),可知 B^T 相似於 BB 相似於 AA 又相似於 A^T,根據傳遞性就得知 B^T 相似於 A^T。若 AB 是可逆的,B^{-1}=(SAS^{-1})^{-1}=SA^{-1}S^{-1}。這個結果還可以推廣至矩陣多項式 f(B) 也相似於 f(A)。令

f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_kx^k

使用主要關係式 B=SAS^{-1},可得

\begin{aligned}  f(B)&=c_0I+c_1B+c_2B^2+\cdots+c_kB^k\\    &=S(c_0I+c_1A+c_2A^2+\cdots+c_kA^k)S^{-1}\\  &=Sf(A)S^{-1}\end{aligned}

 
(3) 若 AB 至少有一個是可逆的,則 AB 相似於 BA

假設 A 是可逆的,則 AB=A(BA)A^{-1}。如果 AB 都是不可逆的,雖然兩者未必相似,但 ABBA 有完全相同的特徵值(詳見“AB 和 BA 有何關係?”),例如,

A=\begin{bmatrix}    1&0\\    1&0    \end{bmatrix},~B=\begin{bmatrix}    0&0\\    1&1    \end{bmatrix}

乘積 AB=\begin{bmatrix}    0&0\\    0&0    \end{bmatrix}BA=\begin{bmatrix}    0&0\\    2&0    \end{bmatrix} 有重複特徵值 0

 
(4) A^TA 相似於 AA^T

n 階方陣 A 的奇異值分解為 A=U\Sigma VUV 為正交矩陣滿足 U^T=U^{-1}V^{T}=V^{-1}\Sigma=\mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n) 為奇異值矩陣。將奇異值分解代入交互乘積,就有

A^{T}A=(U\Sigma V)^{T}(U\Sigma V)=V^T\Sigma U^TU\Sigma V=V^{T}\Sigma^2V

AA^{T}=(U\Sigma V)(U\Sigma V)^{T}=U\Sigma VV^T\Sigma U^T=U\Sigma^{2}U^{T}

上兩式指出 A^{T}A 相似於 \Sigma^2,且 AA^T 相似於 \Sigma^2,證得 A^{T}A 相似於 AA^{T}

 
(5) 若 A 的所有特徵值都是 1,則 A^k 相似於 Ak 為任意正整數。

先看這個二階矩陣,

J=\begin{bmatrix}    1&1\\    0&1    \end{bmatrix}

很容易驗證

J^k=\begin{bmatrix}    1&k\\    0&1    \end{bmatrix}

J=SJ^kS^{-1},其中 S=\begin{bmatrix}    1&1\\    0&k    \end{bmatrix}。繼續推廣至三階矩陣,

J=\begin{bmatrix}    1&1&0\\    0&1&1\\    0&0&1    \end{bmatrix}

請讀者自行檢查確認

J^k=\begin{bmatrix}    1&k&k(k-1)/2\\    0&1&k\\    0&0&1    \end{bmatrix}

S=\begin{bmatrix}    1&1&0\\    0&k&k(k+1)/2\\    0&0&k^2    \end{bmatrix} 滿足 J=SJ^kS^{-1}。上面這種矩陣形式稱為 Jordan 分塊,其主對角元包含重複的特徵值 \lambda,而緊鄰主對角線上一列的每個元都為 1

J=\begin{bmatrix}    \lambda&1&~&0\\    ~&\lambda&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    0&~&~&\lambda    \end{bmatrix}

繼續前述程序也可以證得對於一般 m\ge 1J 分塊,若 \lambda=1,則 J 相似於 J^kk\ge 1。考慮 n 階矩陣 A 的 Jordan 形式,A=MJM^{-1},其中 J 包含 p\le n 個 Jordan 分塊 J_ii=1,\ldots,p,亦即

J=\begin{bmatrix}    J_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&J_p    \end{bmatrix}

因為 A 相似於 J,還有 A^k=MJ^kM^{-1}A^k 相似於 J^k,接著只要證出 J 相似於 J^k 即可證出原命題。由於 A 的特徵值全是 1,每一個 Jordan 分塊的主對角元也都為 1,前述結果保證存在可逆矩陣 S_ii=1,\ldots,p,使得 J_i=S_iJ_i^kS_i^{-1}。利用分塊對角矩陣乘法性質,可得

\begin{aligned}  \begin{bmatrix}    J_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&J_p    \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}    S_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&S_p    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    J_1^k&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&J_p^k    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    S_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&S_p    \end{bmatrix}^{-1}\\    &=\begin{bmatrix}    S_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&S_p    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    J_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&J_p    \end{bmatrix}^k\begin{bmatrix}    S_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&S_p    \end{bmatrix}^{-1}\end{aligned}

這證明了 J 相似於 J^k

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3 則回應給 就是要相似

  1. yutsai0707 說道:

    老師你好,請問A~A的反矩陣的話,A會有什麼特性呢?

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