子空間的辨識

本文的閱讀等級:初級

想像有一天你走進一間「數學大賣場」,在靠近「線性代數區」的入口處,一眼就看見標示「向量空間[1]」的陳列架。從琳瑯滿目的商品中你找到了「實幾何空間 \mathbb{R}^n」、「複幾何空間 \mathbb{C}^n」、「多項式空間 \mathcal{P}」以及「m\times n 階實矩陣空間 \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})」等大宗物品,另外還發現許多印有「子空間」(subspace) 標記的小包裝產品。子空間是線性變換處理的最高層次物件,正確的辨識子空間是學好線性代數必備的基本能力,縱使子空間的外表形式可能複雜多變,但是辨識程序卻是相同的。

 
首先,向量空間是什麼樣的數學物件?向量空間 \mathcal{V} 是一個集合,包含的元素稱為向量,其中任意兩個向量 \mathbf{x}\mathbf{y} 可以相加,\mathbf{x}+\mathbf{y},向量 \mathbf{x} 可以與純量 \alpha 相乘,\alpha\mathbf{x},而且 \mathbf{x}+\mathbf{y}c\mathbf{x} 屬於 \mathcal{V}。純量 \alpha 所屬的集合稱為一個體 (field) F,譬如實數系 \mathbb{R} 或複數系 \mathbb{C}。向量空間 \mathcal{V} 與底層體 F 的關係通常這樣描述:\mathcal{V} 是一個佈於 (over) F 的向量空間。在向量空間中,向量加法與純量乘法滿足 8 個公理 (見“同構的向量空間”),這些公理提供了支援演算時所需的重組、分解與化簡規則:

  1. 加法交換律:\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}
  2. 加法結合律:\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}
  3. 向量單位元:存在唯一的 \mathbf{0}\in\mathcal{V} 使得 \mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}
  4. 逆元:存在唯一的 -\mathbf{x}\in\mathcal{V} 使得 \mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0}
  5. 向量分配律:(\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}\alpha,\beta\in F
  6. 純量分配律:\alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y}
  7. 結合律:\alpha(\beta\mathbf{x})=(\alpha\beta)\mathbf{x}
  8. 純量單位元:存在唯一的 1\in F 使得 1\mathbf{x}=\mathbf{x}

為便於記憶,我們將向量空間的核心概念表示為

向量空間 = 向量集合 + 向量加法與純量乘法 + 8 個公理

 
在歐幾里得空間 \mathbb{R}^3,我們感興趣的幾何物件不僅有空間裡的點,還包括直線與平面等。這些幾何物件可以推廣至一般的向量空間。在向量空間 \mathcal{V},一個非空子集合 \mathcal{W} 稱為子空間或線性流形 (linear manifold)[2],若 \mathcal{W} 具有向量加法與純量乘法封閉性 (closeness),具體地說,對於 \mathcal{W} 的任意兩個向量 \mathbf{x}\mathbf{y},所有的線性組合 c\mathbf{x}+d\mathbf{y} 都屬於 \mathcal{W}。向量空間 \mathcal{V} 的任何一個子空間 \mathcal{W} 都是一個向量空間。類似地,子空間的核心概念可表示如下:

子空間 = 子集合 + 向量加法與純量乘法 + 8個公理

向量空間 \mathcal{V} 有兩個特殊的子空間:一是 \mathcal{O}=\{\mathbf{0}\},二是 \mathcal{V} 自身。請注意,對於任何一個向量 \mathbf{x}\in\mathcal{W},子空間 \mathcal{W} 必然包含 \mathbf{x}-\mathbf{x}=\mathbf{0}。因此,任何一個子空間都包含零向量 \mathbf{0}
歐幾里得空間 \mathbb{R}^3 提供幫助理解的幾何直覺:子空間可以是原點,穿越原點的直線或穿越原點的平面,甚至 \mathbb{R}^3 本身也是一個子空間。但如果我們將子空間視為直線與平面的推廣,我們須小心地僅考慮穿越原點的直線與平面[3]

 
例1. 設歐幾里得空間 \mathbb{R}^3 的子集合包含向量 \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3),以下只有條件 (1) 與條件 (4) 給出的子集合是合法的子空間:

  1. x_1=0
  2. x_1=0x_2=0
  3. x_1\ge 0x_2\ge 0
  4. x_1+x_2=0
  5. x_1+x_2=1

這些子集合都是幾何物件,陳述如下:

  1. x_2x_3 平面,法向量為 (1,0,0)
  2. x_2x_3 平面與 x_1x_3 平面的聯集,
  3. 對應任意數值 x_3 的水平面的第一象限;
  4. 穿越原點,法向量為 (1,1,0) 的平面;
  5. 法向量為 (1,1,0) 的平面,但未穿越原點。

 
例2. 令 \mathcal{P}_n 為最高項次為 n 的多項式所形成的集合,且 t_1,\ldots,t_m 為任意 m 個實數,m\le n。考慮 \mathcal{P}_n 的一個子集合 \mathcal{S},其中向量 (多項式) p(t) 滿足 p(t_1)=\cdots=p(t_m)=0。從 \mathcal{S} 的成分說明,我們知道 t_1,\ldots,t_m 是多項式 p(t)m 個根,也就是說,(t-t_1),\ldots,(t-t_m) 為多項式 p(t) 的因式。因此,\mathcal{S} 裡面的向量都有以下形式:

p(t)=(t-t_1)\cdots(t-t_m)\hat{p}(t)=\displaystyle\prod_{j=1}^m(t-t_j)\hat{p}(t)

其中 \hat{p}(t) 屬於 \mathcal{P}_{n-m}。對於任意 p(t),q(t)\in\mathcal{S},兩向量之和為

\begin{aligned}  p(t)+q(t)&=\displaystyle\prod_{j=1}^m(t-t_j)\hat{p}(t)+ \prod_{j=1}^m(t-t_j)\hat{q}(t)\\  &=\displaystyle\prod_{j=1}^m(t-t_j)\left(\hat{p}(t)+\hat{q}(t)\right).\end{aligned}

因為 \hat{p}(t)+\hat{q}(t) 屬於 \mathcal{P}_{n-m},推論 p(t)+q(t) 屬於 \mathcal{S}。同樣地,對於任意實數 c

cp(t)=\displaystyle c\prod_{j=1}^m(t-t_j)\hat{p}(t)=\prod_{j=1}^m(t-t_j)(c\hat{p}(t))

可知 cp(t) 也屬於 \mathcal{S}。綜合上面的結論,\mathcal{S} 確實是 \mathcal{P}_n 一個子空間。毫無疑問地,子空間 \mathcal{S} 包含零向量,這裡的零向量就是零多項式,其中所有的係數為零。運用類似方法,你也可以證明滿足 p(-t)=p(t) 的多項式 (稱為偶函數) 所形成的子集合是一個子空間,滿足 p(-t)=-p(t) 的多項式 (稱為奇函數) 所形成的子集合是一個子空間。

 
註解
[1] 向量空間也稱為線性空間,因為線性變換定義於向量空間之上。
[2] 流形 (manifold) 是歐幾里得空間中曲線、曲面等概念的推廣。
[3] 不穿越原點的直線與平面稱為仿射子空間 (affine subspace),見“仿射組合與仿射空間”。

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17 Responses to 子空間的辨識

  1. andy6829 說道:

    請問周老師:

    老師在文章說點出了:

    1. 向量空間 = 向量集合 + 向量加法與純量乘法 + 8 個公理
    2. 子空間 = 子集合 + 向量加法與純量乘法 + 8 個公理
    3. 向量空間的子集合本身也是一個向量空間,
    我們稱這種子集合為子空間(subspace)

    那我可以用簡單一點的說法:

    子空間是「向量空間的一部份」,子空間包含於向量空間 ← 這樣子可以嗎?

    但是老師在後面又提到了:

    對應向量 X ,子空間必定包含 -X ,
    也就包含 ( X – X ) ,所以任何子空間都包含零向量「0」 。

    這點好像和向量空間的定義不同,多出來一個「子空間都包含零向量 0」,

    如果這樣說的話,那向量空間比子空間還要大,當然也包含了零向量 0,

    但是子空間特別點出要「包含零向量 0 」,向量空間是包不包含零向量都可。

    看了老師舉的:

    「子空間可以是原點,穿越原點的直線或平面,
    甚至三維的實座標空間本身也是一個子空間。」

    我想問的是,子空間為何一定要包含零向量呢?

    如果這個是定義的話那我只能接受了…

    只不過我是想說:

    如果向量空間包不包含零向量都可以,

    那為何要特別把一個「包含零向量」的情況抽出來?

    那可不可以把「不包含零向量」的情況也抽出來,多創一個新的空間?

    還有,包含零向量的子空間,和不包含零向量的另外一個空間,

    有沒有不相同的地方呢?而且那個「不相同的地方」是一看就知道的

    (如果不用 「 Ax = 0 的唯一條件,就是 x 為零向量」的情況方法來看的話 )

    程度很差問了奇怪的問題

    希望周老師多多包含,替我指點迷津,再次謝謝周老師!

  2. ccjou 說道:

    子空間也是向量空間,但我們常特別強調子空間,這是為了表明子空間是某個向量空間的子集合。向量空間必定包含零向量,也有些書本將這件事納入定義中,其實沒有必要,因為向量空間必須滿足向量加法與純量乘法封閉性,任意向量相加 \mathbf{x}+\mathbf{y} 和純量乘法 c\mathbf{x} 都屬於向量空間 V,所以 0\mathbf{x}=\mathbf{0}\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0},零向量也一定屬於向量空間 V。當然,零向量本身也構成了一個向量空間,不過是一個極為平凡無趣的向量空間。

  3. 匿名 說道:

    不好意思
    可以請問一下
    如何判斷某個矩陣是否屬於某個子空間?
    何謂加法封閉性?該怎麼看是否有滿足加法封閉性呢?
    謝謝!!

  4. ccjou 說道:

    矩陣也可以構成向量空間,例如,所有 2\times 2 階實矩陣所形成的集合為一向量空間,記為 V,考慮 S\subseteq VS 包含所有的對稱矩陣,隨便從 S 中挑兩個矩陣 A=A^TB=B^T,那麼 A+B=A^T+B^T=(A+B)^T,可知 A+B 也是對稱矩陣,故 (A+B)\in S,我們說它滿足加法封閉性。很容易檢查 S 也滿足乘法封閉性,cA=cA^T=(cA)^T,所以推論 S 不僅是 V 的一個子集合,S 還是一個子空間。

    留言時請盡量寫出暱稱,不要使用「訪客」,系統會將訪客歸類為垃圾。

  5. 訪客 說道:

    你好:
    小弟最近在學線代有幾個問題想請教
    (1)文章寫說 向量空間=向量集合+向量加法與純量乘法+8 個公理
    這裡寫的向量"加法與純量乘法" 與"向量加法封閉性與純量乘法封閉性"有一樣嗎?
    (2)子空間既然是向量空間 為什麼有些書籍寫說滿足子空間為"向量加法封閉性與純量乘法封閉性"+本身非空集合就可以 ,而不需寫成"向量加法與純量乘法" +"8 個公理"+本身非空集合 ?
    謝謝

  6. jack 說道:

    你好:
    小弟最近在學線代有幾個問題想請教
    (1)文章寫說 向量空間=向量集合+向量加法與純量乘法+8 個公理
    這裡寫的向量"加法與純量乘法" 與"向量加法封閉性與純量乘法封閉性"有一樣嗎?
    (2)子空間既然是向量空間 為什麼有些書籍寫說滿足子空間為"向量加法封閉性與純量乘法封閉性"+本身非空集合就可以 ,而不需寫成"向量加法與純量乘法" +"8 個公理"+本身非空集合 ?
    謝謝

  7. ccjou 說道:

    可能我沒說清楚,具有加法與純量乘法運算並不保證兩者的封閉性,所以向量空間 V
    (1) 一個向量集合。
    (2) 有向量加法:對於 x,y\in V,向量加法將 xy 連結 V 中的一個向量 x+y
    (3) 有純量乘法:對於 x\in V,純量 c,乘法將 x 連結 V 中的一個向量 cx
    (4) 向量加法和純量乘法滿足8個公理。

    子空間為向量空間的子集合,所以其中成員當然有加法及純量乘法運算,並且滿足8個公理,但它還必須滿足加法及純量乘法封閉性。例如,\mathbb{R}^2 中的第一象限只能說是子集合但並不是一個子空間。

  8. jack 說道:

    謝謝周老師的指點~~~~
    但是我還有一點疑惑就是既然子空間滿足加法及純量乘法運算,並且滿足8個公理,還滿足加法及純量乘法封閉性,而有些題目要判別是不是某個向量空間的子空間,只需驗證(1)非空集合(也就是包含{0}) (2)滿足加法及純量乘法封閉性
    為什麼不需再驗證滿足8個公理跟加法及純量乘法運算?
    謝謝

  9. ccjou 說道:

    既然子空間是向量空間的子集合,自然子空間中的任兩個向量可以相加,任一向量也可以和純量相乘,因此繼承了8個運算公理,故沒有進一步檢查的必要。

  10. jack 說道:

    謝謝周老師
    (1)那如果有一個向量集合為向量空間的"子集合",那這個向量集合是不是只滿足"加法及純量乘法運算與8個公理"的部份幾個公理而已,還是全部公理都不滿足?
    (2)那是不是要利用加法及純量乘法封閉性將"加法及純量乘法運算與8個公理"未滿足的定理來補齊,使他為滿足向量空間?
    不好意思 小弟程度差 請多多包含~~~~

  11. ccjou 說道:

    (1)既然子集合屬於向量空間,那麼就享有加法和純量乘法,加法和純量乘法已經滿足八個公理,跟那個子集合無關。
    (2)不是這麼說。雖然有了加法和純量乘法,但子集合未必滿足封閉性,故子集合未必都是子空間。

    你可以舉一些例子來幫助釐清疑惑,如二維空間 \mathbb{R}^2 是一個向量空間嗎?是的。考慮 \mathbb{R}^2 裡面的子集合如第一象限,其中的向量都可相加也有純量乘法運算嗎?是的。而且八個公理也都滿足嗎?確實也是的。但第一象限是一個子空間嗎?不是,因為不滿足封閉性,例如,cx=(-2)(1,3)=(-2,-6) 不屬於第一象限。

  12. jack 說道:

    謝謝周老師的指點
    如果向量空間=向量集合+向量加法與純量乘法+8個公理
    而向量空間本身又必須滿足"向量加法與純量乘法封閉性",那為什麼不需再另定這一個條件?
    因為從周老師舉的例子二維空間的第一象限來說,既然滿足"純量乘法運算"與八個公理",那第一象限不就滿足向量空間的條件了

    謝謝

  13. r2123b 說道:

    老師:
    這句話是對的嗎?
    "The only vector space that contains a finite number of vectors is the zero vector space ={0}"

    我認為是對的!到目前所學為止,碰過歐氏空間、多項式空間、函數空間,都是無限向量空間!除了零空間真的想不到有什麼空間裡的vector個數是有限的@@

    • ccjou 說道:

      你聽過黑天鵝效應嗎?維基百科說:在18世紀歐洲人發現澳洲之前,由於他們所見過的天鵝都是白色的,所以在當時歐洲人眼中,天鵝只有白色的品種。直到歐洲人發現了澳洲,看到當地的黑天鵝後,人們認識天鵝的視野才打開,只需一個黑天鵝的觀察結果就能使從無數次對白天鵝的觀察中推理出的一般結論失效,引起了人們對認知的反思-以往認為對的不等於以後總是對的。

      一般線性代數課本僅提及定義於實數系或複數系的體,所以我們自然認為除了{0},其他向量空間都包含無限多個元素。有一種黑天鵝叫做「有限體」,當向量空間定義在有限體時,該向量空間僅含有限個元素。

      https://ccjou.wordpress.com/2013/07/15/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%AB%94%E8%88%87%E6%A8%A1%E7%AE%97%E8%A1%93/

  14. r2123b 說道:

    挖塞!原來模這個有限體的運算也可以用矩陣運算!!!太神奇了!!!感覺自己就像是沒看過黑天鵝,就說世界上只有白天鵝的人XD

    謝謝老師~

    Q:那為什麼一般教課書上都沒提到有限體?

    Q:有限體有span或basis的概念嗎?

    • ccjou 說道:

      專門為數學系學生寫的教科書還是會談到有限體。不知道有限體並不會阻撓我們理解與使用線性代數,就像不知道地球繞著太陽轉不會影響絶大多數人的日常生活一樣。請你放心,向量空間理論不因定義於有限體還是無限體而改變,只要是體就行。

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