每週問題 October 4, 2010

這是關於實對稱矩陣其各元之和的性質證明問題。

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11 則回應給 每週問題 October 4, 2010

  1. GSX 說道:

    我覺得寫成把summation寫成矩陣比較好看一點:

    s(A^2) = 1^T A A 1 = 1^T A^T A 1 = ||A 1||^2

    (s(A))^2 = (1^T A 1)^2 <= ||1||^2 ||A 1|^2 = n s(A^2)

    不過我有點好奇為什麼要寫 s(I_n) 而不寫n呢

    有什麼用意嗎?

  2. GSX 說道:

    還是要這樣寫呢?
    s(I^2) s(A^2) <= (s(IA))^2

    對於實對稱矩陣,s(AB)可以定出一個內積空間?

  3. ccjou 說道:

    你說的對,確實我們應該多使用矩陣向量符號計算。將 n 寫成 s(I_n) 僅僅是為了使用同樣的函數 s(.),沒有特別的用意。

    對於實對稱矩陣 A, B,
    s(AB)=1^TAB1=1^TA^TB^T1=1^T(BA)^T1=s((BA)^T)=s(BA)
    s(A(B+C))=1^TA(B+C)1=1^T(AB+AC)1=s(AB)+s(AC)
    s(A(cB))=1^TA(cB)1=c1^T(AB)1=cs(AB)
    s(A^2)\ge(1/n)(s(A))^2\ge 0 但是 s(A^2)=0 時不一定有 A=0 例如
    A=\begin{bmatrix} 1&-1\\ -1&1 \end{bmatrix}

    s(AB) 不能定出內積空間。

  4. GSX 說道:

    真的不是內積耶!

    但柯西不等式的證明倒是不需要第四項的後半部

    所以對於實對稱矩陣,

    s(A^2)s(B^2) >= (s(AB))^2

    仍然是對的吧? 只是等號成立不見得一定要 A = tB 。

    不過也是要先證明原來的題目,有第四項的前半部分後,才能做出這個推廣

  5. ccjou 說道:

    我沒仔細檢查,按照先前的做法,s(A^2)s(B^2)\ge (s(AB))^2 應該也是成立的。

  6. 匿名 說道:

    喔,對耶,用本來的做法就可以做出來了

  7. GSX 說道:

    對耶,用本來的做法就可以做出來了。
    那這樣等號成立的條件就是 A 1 = t B 1

    我有個怪問題:
    我可以把向量空間 A = B 定義成 A 1 = B 1
    然後說s(AB)是內積空間嗎?

  8. ccjou 說道:

    我不確定你說的向量空間為何,是說所有滿足A1=c(c 是一常數)的矩陣集嗎?可是這些矩陣並不構成向量空間,若 A1=B1=c,但 (A+B)1=2c。除非c等於零。

    該是我誤會什麼了吧?

  9. GSX 說道:

    我指的不是A1=c(c 是一向量)的矩陣集

    不過我不知道我想的是不是可以那樣做

    我是指把 A1 = B1 的A和B視為"相等"

    也就是這個向量空間還是所有的實對稱矩陣,只是有些被定義成相等

    而這個向量空間的元素個數就跟 R^n 一樣 ( A1 = c , c \in R^n )

    或者說其實就是R^n,只是把內積定成

    = s(AB) , where A1=c, B1=d

    呃…這好像就是本來的內積^^"

    所以我講的其實就是 R^n ^^|||

    好像不是問題了XD

  10. ccjou 說道:

    呵呵,了解了…

    剛才我走去郵局的路上還在想你指的向量空間究竟為何,如果不看你的解釋,我絕對猜不出是這個意思。

    我在垃圾箱看到你先前的迴響,可能是因為登入名稱所以才被系統誤判?不解。

  11. GSX 說道:

    我有時候忘記登入就回覆,然後就沒東西出來
    可能是這時候跑去垃圾箱了吧~

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