矩陣運算的基本技巧

本文的閱讀等級：初級

考慮這個問題：若 $A$ 和 $B$ 為 $n\times n$ 階矩陣且 $A+B$ 是可逆的，證明

$A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A$ 。

任兩個矩陣之和 $A+B$ 不存在逆矩陣公式。這個問題令人頭疼的地方在於 $(A+B)^{-1}$ 夾在兩個矩陣之間，要將它消去似乎不是一件容易的事。我們先檢視一下手邊的可用工具。矩陣運算遵守下列基本性質：

分配律 $A(B+C)=AB+AC$ ， $(A+B)C=AC+BC$
結合律 $A(BC)=(AB)C$
矩陣乘法交換律不總是成立，但若 $A$ 是可逆的，則存在 $B$ 使得 $AB=BA=I$ ，交換律在此情況下成立。

理論上，運用這些性質便足以應付多數的問題，但我也不諱言矩陣運算確實要善用一些技巧，複雜一點的問題更需要巧思和洞察力。

上述問題的解題切入點在於 $A+B$ 是可逆的，

$(A+B)(A+B)^{-1}=I$ 。

上式可改寫為

$A(A+B)^{-1}=I-B(A+B)^{-1}$ 。

令原命題等號兩邊相減，將上式代入，乘開後交互使用分配律與結合律化簡，過程如下：

$\begin{aligned} A(A+B)^{-1}B-B(A+B)^{-1}A&=\left(I-B(A+B)^{-1}\right)B-B(A+B)^{-1}A\\ &=B-B(A+B)^{-1}B-B(A+B)^{-1}A\\ &=B-B(A+B)^{-1}(B+A)\\ &=B-B=0.\end{aligned}$

下面提供幾個例題供讀者練習，部分問題取自台灣大專院校的研究所入學試題。

例1 若 $n$ 階方陣 $A$ 是可逆的，對於任意 $n$ 階方陣 $B$ ，證明

$(A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)$ 。

這是一個基本練習題，只需要選擇適當的矩陣重組分解即可，下面是詳細的演算步驟：

$\begin{aligned} (A+B)A^{-1}(A-B)&=(A+B)(I-A^{-1}B)\\ &=A+B-B-BA^{-1}B=A-B+AA^{-1}B-BA^{-1}B\\ &=(A-B)+(A-B)A^{-1}B=(A-B)\left(I+A^{-1}B\right)\\ &=(A-B)A^{-1}(A+B). \end{aligned}$

例2 令 $A$ 與 $B$ 為 $n$ 階方陣。若 $AB=A+B$ ，證明 $AB=BA$ 。

將條件式 $AB-A-B=0$ 因式分解：

$A(B-I)-(B-I)=(A-I)(B-I)=I$ 。

為了製造 $BA$ ，使用交換律 $(B-I)(A-I)=I$ ，即得 $BA=A+B$ ，證明 $AB=BA$ 。

例3 若 $A$ ， $B$ 和 $A+B$ 為同階可逆矩陣，證明

$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A-A(A+B)^{-1}A$ 。

原命題等價於證明

$(A^{-1}+B^{-1})\left(A-A(A+B)^{-1}A \right)=I$ 。

令等號左邊為 $X$ ，乘開可得

$X=I+B^{-1}A-(A+B)^{-1}A-B^{-1}A(A+B)^{-1}A$ 。

上式等號右邊有兩項左側為 $B^{-1}$ ，這自然引領我們計算乘積 $BX$ ，過程如下：

$\begin{aligned} BX&=B+A-B(A+B)^{-1}A-A(A+B)^{-1}A\\ &=B+A-(B+A)(A+B)^{-1}A\\ &=B+A-A=B.\end{aligned}$

由於 $B$ 可逆，故 $X=I$ 。

例4 若 $I-AB$ 和 $I-BA$ 是可逆的，證明

$(I-AB)^{-1}=I+A(I-BA)^{-1}B$ 。

與例3的解法類似，直接驗證

$(I-AB)\left(I+A(I-BA)^{-1}B\right)=I$ ，

將等號左邊乘開，

$(I-AB)\left(I+A(I-BA)^{-1}B\right)=I-AB+A(I-BA)^{-1}B-ABA(I-BA)^{-1}B$ 。

仔細觀察上式右邊兩項，它們可以因式分解為

$\begin{aligned} A(I-BA)^{-1}B-ABA(I-BA)^{-1}B&=A(I-BA)(I-BA)^{-1}B\\ &=AB,\end{aligned}$

也就證得所求。

4 Responses to 矩陣運算的基本技巧

Chen says:

09/13/2019 at 9:54 pm

A(A+B)^{-1}=I-B(A+B)^{-1}。

- Chen says:
  
  09/13/2019 at 9:56 pm
  
  請問能分解一下嗎，我看不太懂
  
  - ctimmy says:
    
    09/14/2019 at 10:11 am
    
    原式 $(A+B)(A+B)^{-1}=I=A(A+B)^{-1}+B(A+B)^{-1}$ 兩邊同減 $-B(A+B)^{-1}$ 後得 $A(A+B)^{-1}=I-B(A+B)^{-1}$
    
    - Chen says:
      
      09/14/2019 at 3:37 pm
      
      感謝你的解說，我懂了

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