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考慮這個問題:若 和
為
階矩陣且
是可逆的,證明
。
任兩個矩陣之和 不存在逆矩陣公式。這個問題令人頭疼的地方在於
夾在兩個矩陣之間,要將它消去似乎不是一件容易的事。我們先檢視一下手邊的可用工具。矩陣運算遵守下列基本性質:
- 分配律
,
- 結合律
- 矩陣乘法交換律不總是成立,但若
是可逆的,則存在
使得
,交換律在此情況下成立。
理論上,運用這些性質便足以應付多數的問題,但我也不諱言矩陣運算確實要善用一些技巧,複雜一點的問題更需要巧思和洞察力。
上述問題的解題切入點在於 是可逆的,
。
上式可改寫為
。
令原命題等號兩邊相減,將上式代入,乘開後交互使用分配律與結合律化簡,過程如下:
下面提供幾個例題供讀者練習,部分問題取自台灣大專院校的研究所入學試題。
例1 若 階方陣
是可逆的,對於任意
階方陣
,證明
。
這是一個基本練習題,只需要選擇適當的矩陣重組分解即可,下面是詳細的演算步驟:
例2 令 與
為
階方陣。若
,證明
。
將條件式 因式分解:
。
為了製造 ,使用交換律
,即得
,證明
。
例3 若 ,
和
為同階可逆矩陣,證明
。
原命題等價於證明
。
令等號左邊為 ,乘開可得
。
上式等號右邊有兩項左側為 ,這自然引領我們計算乘積
,過程如下:
由於 可逆,故
。
例4 若 和
是可逆的,證明
。
與例3的解法類似,直接驗證
,
將等號左邊乘開,
。
仔細觀察上式右邊兩項,它們可以因式分解為
也就證得所求。
A(A+B)^{-1}=I-B(A+B)^{-1}。
請問能分解一下嗎,我看不太懂
原式
兩邊同減
後得 
感謝你的解說,我懂了