矩陣運算的基本技巧

本文的閱讀等級:初級

考慮下面這個問題:令 ABn\times n 階矩陣且 A+B 是可逆矩陣,證明

A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A

此題令人頭疼的地方在於 (A+B)^{-1} 夾在兩個矩陣之間,要將它消去似乎不是一件容易的事。我們先檢視一下手邊的可用工具。矩陣運算遵守下列基本性質:

(1) 分配律 A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AC+BC

(2) 結合律 A(BC)=(AB)C

(3) 矩陣乘法交換律不總是成立,但若 A 可逆,則存在 B 使得 AB=BA=I,交換律在此情況下成立。

理論上,運用這些性質便足以應付多數的問題,但我們也不諱言矩陣運算確實要善用一些技巧,複雜一點的問題更需要巧思和洞察力。

 
上述問題的解題切入點在於 A+B 是可逆的,也就有

(A+B)(A+B)^{-1}=I

上式可改寫為

A(A+B)^{-1}=I-B(A+B)^{-1}

令原命題等號兩邊相減,將上式代入,乘開後交互使用分配律與結合律化簡,過程如下:

\begin{aligned}  A(A+B)^{-1}B-B(A+B)^{-1}A&=\left(I-B(A+B)^{-1}\right)B-B(A+B)^{-1}A\\  &=B-B(A+B)^{-1}B-B(A+B)^{-1}A\\  &=B-B(A+B)^{-1}(B+A)\\  &=B-B=0\end{aligned}

 
下面提供幾個例題供讀者練習,部分問題取自研究所入學試題。

 
例一

n 階方陣 A 可逆,對於任意 n 階方陣 B,證明

(A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)

這是一個基本練習題,只需要選擇適當的矩陣重組分解即可,下面是詳細的演算步驟:

\begin{aligned}  (A+B)A^{-1}(A-B)&=(A+B)(I-A^{-1}B)\\  &=A+B-B-BA^{-1}B=A-B+AA^{-1}B-BA^{-1}B\\    &=(A-B)+(A-B)A^{-1}B=(A-B)\left(I+A^{-1}B\right)\\    &=(A-B)A^{-1}(A+B)  \end{aligned}

 
例二

AB 同為 n 階方陣,若 AB=A+B,證明 AB=BA

將條件式 AB-A-B=0 因式分解:

A(B-I)-(B-I)=(A-I)(B-I)=I

為了製造 BA,使用交換律 (B-I)(A-I)=I,即得 BA=A+B,證出 AB=BA

 
例三

ABA+B 為同階可逆矩陣,證明

(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A-A(A+B)^{-1}A

原命題等價於證明

(A^{-1}+B^{-1})\left(A-A(A+B)^{-1}A \right)=I

令等號左邊為 X,乘開可得

X=I+B^{-1}A-(A+B)^{-1}A-B^{-1}A(A+B)^{-1}A

上式等號右邊有兩項左側為 B^{-1},這自然引領我們計算乘積 BX,過程如下:

\begin{aligned}  BX&=B+A-B(A+B)^{-1}A-A(A+B)^{-1}A\\  &=B+A-(B+A)(A+B)^{-1}A\\  &=B+A-A=B\end{aligned}

由於 B 可逆,故 X=I

 
例四

I-ABI-BA 可逆,證明

(I-AB)^{-1}=I+A(I-BA)^{-1}B

與例三的解法類似,直接驗證

(I-AB)\left(I+A(I-BA)^{-1}B\right)=I

將等號左邊乘開,

(I-AB)\left(I+A(I-BA)^{-1}B\right)=I-AB+A(I-BA)^{-1}B-ABA(I-BA)^{-1}B

仔細觀察上式右邊兩項,它們可以因式分解為

\begin{aligned}  A(I-BA)^{-1}B-ABA(I-BA)^{-1}B&=A(I-BA)(I-BA)^{-1}B\\  &=AB\end{aligned}

也就證出原命題。

This entry was posted in 線性方程, 線性代數專欄 and tagged . Bookmark the permalink.

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

你正使用 WordPress.com 帳號留言。 登出 / 變更 )

Twitter picture

你正使用 Twitter 帳號留言。 登出 / 變更 )

Facebook照片

你正使用 Facebook 帳號留言。 登出 / 變更 )

Google+ photo

你正使用 Google+ 帳號留言。 登出 / 變更 )

連結到 %s