矩陣運算的基本技巧

本文的閱讀等級：初級

考慮這個問題：若 和 為 階矩陣且 是可逆的，證明

。

任兩個矩陣之和 不存在逆矩陣公式。這個問題令人頭疼的地方在於 夾在兩個矩陣之間，要將它消去似乎不是一件容易的事。我們先檢視一下手邊的可用工具。矩陣運算遵守下列基本性質：

1. 分配律 ，
2. 結合律
3. 矩陣乘法交換律不總是成立，但若 是可逆的，則存在 使得 ，交換律在此情況下成立。

理論上，運用這些性質便足以應付多數的問題，但我們也不諱言矩陣運算確實要善用一些技巧，複雜一點的問題更需要巧思和洞察力。

 
上述問題的解題切入點在於 是可逆的，

。

上式可改寫為

。

令原命題等號兩邊相減，將上式代入，乘開後交互使用分配律與結合律化簡，過程如下：

 
下面提供幾個例題供讀者練習，部分問題取自台灣大專院校的研究所入學試題。

 
例1 若 階方陣 是可逆的，對於任意 階方陣 ，證明

。

這是一個基本練習題，只需要選擇適當的矩陣重組分解即可，下面是詳細的演算步驟：

 
例2 令 與 為 階方陣。若 ，證明 。

將條件式 因式分解：

。

為了製造 ，使用交換律 ，即得 ，證明 。

 
例3 若 ， 和 為同階可逆矩陣，證明

。

原命題等價於證明

。

令等號左邊為 ，乘開可得

。

上式等號右邊有兩項左側為 ，這自然引領我們計算乘積 ，過程如下：

由於 可逆，故 。

 
例4 若 和 是可逆的，證明

。

與例3的解法類似，直接驗證

，

將等號左邊乘開，

。

仔細觀察上式右邊兩項，它們可以因式分解為

也就證得所求。

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