## Householder 矩陣乘積的特徵值

$H=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T$

$H\mathbf{u}=(I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{u}=\mathbf{u}-2\mathbf{u}(\mathbf{u}^T\mathbf{u})=\mathbf{u}-2\mathbf{u}=-\mathbf{u}$

$H\mathbf{x}_i=(I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{x}_i=\mathbf{x}_i-2\mathbf{u}(\mathbf{u}^T\mathbf{x}_i)=\mathbf{x}_i,~~~i=1,\ldots,n-1$

\begin{aligned} H_1&=I-2\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T\\ H_2&=I-2\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T\end{aligned}

$(H_2H_1)^T(H_2H_1)=H_1^TH_2^TH_2H_1=H_1^TH_1=I$

$\Vert H_2H_1\mathbf{x}\Vert^2=\mathbf{x}^T(H_2H_1)^T(H_2H_1)\mathbf{x}=\mathbf{x}^T\mathbf{x}=\Vert\mathbf{x}\Vert^2$

Householder 矩陣乘積 $H_2H_1$ 不改變向量長度，故其特徵值滿足 $\vert\lambda\vert=1$。不過，這個訊息仍不足以確定特徵值為何，因此我們轉而從 Householder 矩陣的幾何性質下手。

$H_2H_1\mathbf{x}_i=H_2\mathbf{x}_i=\mathbf{x}_i$

\begin{aligned} H_1\mathbf{u}_1&=-\mathbf{u}_1\\ H_2\mathbf{u}_2&=-\mathbf{u}_2\\ H_1\mathbf{u}_2&=(I-2\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T)\mathbf{u}_2=\mathbf{u}_2-2k\mathbf{u}_1\\ H_2\mathbf{u}_1&=(I-2\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T)\mathbf{u}_1=\mathbf{u}_1-2k\mathbf{u}_2\end{aligned}

\begin{aligned} H_2H_1\mathbf{y}&=H_2H_1\left(c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2\right)\\ &=H_2\left(-c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2-2kc_2\mathbf{u}_1\right)\\ &=H_2\left(-(c_1+2kc_2)\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2\right)\\ &=-(c_1+2kc_2)(\mathbf{u}_1-2k\mathbf{u}_2)-c_2\mathbf{u}_2\\ &=-(c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2)-2k(c_2\mathbf{u}_1-(c_1+2kc_2)\mathbf{u}_2)\\ &=-\mathbf{y}-2k(c_2\mathbf{u}_1-(c_1+2kc_2)\mathbf{u}_2)\end{aligned}

$\displaystyle\frac{c_2}{c_1}=-\frac{c_1+2kc_2}{c_2}$

$c_1+2kc_2=-c_2^2/c_1$ 代回前面的推導式，即得

$H_2H_1\mathbf{y}=\displaystyle\left(-1-2k\frac{c_2}{c_1}\right)\mathbf{y}=\lambda\mathbf{y}$

$\displaystyle\left(\frac{c_2}{c_1}\right)^2+2k\left(\frac{c_2}{c_1}\right)+1=0$

$\displaystyle\frac{c_2}{c_1}=-k\mp\sqrt{k^2-1}$

$\mathbf{u}_1$$\mathbf{u}_2$ 的夾角為 $\theta$。因為 $\mathbf{u}_1$$\mathbf{u}_2$ 同為單位向量，$k=\mathbf{u}_1^T\mathbf{u}_2=\cos\theta\neq \pm 1$。所以

$\displaystyle\frac{c_2}{c_1}=-\cos\theta\mp i\sin\theta$

\begin{aligned} \displaystyle\lambda&=-1-2k\frac{c_2}{c_1}\\ &=-1-2\cos\theta(-\cos\theta\mp i\sin\theta)\\ &=-1+2\cos^2\theta\pm 2i\sin\theta\cos\theta\\ &=\cos(2\theta)\pm i\sin(2\theta)\end{aligned}

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### 6 則回應給 Householder 矩陣乘積的特徵值

1. ccjou 說：

原文有錯，已經更正，順便稍加補充改寫。

2. vtriplev 說：

在清華開放課程上,有看到根本主體類似的文章
http://moodle.nthu.edu.tw/mod/resource/view.php?id=11858
http://moodle.nthu.edu.tw/file.php/6833/CH3_Linear_Algebra/Linear_operators/AP1-Operator.pdf
在文章內的rotation and reflection 的討論中
2D平面旋轉矩陣以R(theta)表示, y方向parity operator 以 Py表示
那麼,任何2D平面上的鏡射,基本上都可以用 R(theta)*Py來表示
而且
Py*R(theta)=R(-theta)*Py=inverse of R(theta)*Py
Py*Py=I

所以也就是說,任意平面上的兩個reflection 矩陣 H1, H2分別可表示為
H1=Py*R(theta1)
H2=Py*R(theta2)
H1*H2=Py*R(theta1)*Py*R(theta2)=R(-theta1)*Py*Py*R(theta2)=R(theta2-theta1)
在2D平面上,連續作用兩次鏡射的作用會等效於1個旋轉

感覺跟本主題有些神似,在3D空間上,連續兩次作用鏡射,似乎也等效於對某個旋轉軸做旋轉 (旋轉軸是特徵值為1的eigenspace, 其dimension=n-2=3-2=1)

所以,感覺好像可以推論,作用兩次鏡射,要麼回到I,不然就會變成旋轉

3. vtriplev 說：

對平面上的兩個鏡射來說
H1=Py*R(theta1),及H2=Py*R(theta2)
H1的映射軸L1為極座標之角度=1/2*theta1
H2的映射軸L2為極座標之角度=1/2*theta2
L1與L2的夾角=1/2*(theta1-theta2)
而H2*H1=R(theta1-theta2)所對應的旋轉矩陣的旋轉角度,是L1與L2夾角的兩倍
剛好可以做驗證.

4. ccjou 說：

任何 $\mathbb{R}^n$ 向量都可以經過 $n-1$ 次平面旋轉使其指向第一軸(或任何軸)，使用 Givens 旋轉即可：
https://ccjou.wordpress.com/2010/02/18/givens-%E6%97%8B%E8%BD%89%E6%96%BC-qr-%E5%88%86%E8%A7%A3%E7%9A%84%E6%87%89%E7%94%A8/

5. Meiyue Shao 說：

我觉得vtriplev的评论比较本质——两个镜像变换的复合是平面旋转，反之亦然。这是一个简单而深刻的结论，Coxeter曾撰文以此推导空间旋转的四元数表示。虽然几何直观并不能代替代数演算，不过如果在大段的计算下面配上一张图说明上述原理能帮助读者更好地理解。

• ccjou 說：

暫時先加入一個連結，等有空時再補充說明。