每週問題 October 18, 2010

若 AB=0,推論 BA 的零空間維數的下界。這是前幾年台大數研所的入學試題。

Pow-Oct-18-10

參考解答

PowSol-Oct-18-10

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2 則回應給 每週問題 October 18, 2010

  1. GSX 說道:

    我有另一個做法~

    用 (BA)^2 = BABA = 0

    所以 BA 的 Jordan Block size 小於等於 2

    這樣就可以得到結論了

  2. ccjou 說道:

    謝謝你提供這個做法。這是點睛,很多讀者可能不甚了解畫龍,也就是從 (BA)^2=0 如何證明 \mathrm{dim}N(BA)\ge n/2。補充於下。

    (1) 由 (BA)^2=0 得知 BA 是密零矩陣(nilpotent),僅有特徵值 \lambda=0,若能證出對應的特徵空間維度,即線性獨立的特徵向量個數,大於等於 n/2 就證得原命題。
    (2) 每個 Jordan block 僅有一個獨立特徵向量,因此 Jordan block 總數就是對應 \lambda=0 的獨立特徵向量的個數。
    (3) 對應 \lambda=0 的指標(index),即滿足 \mathrm{rank}(BA-\lambda I)^k=\mathrm{rank}(BA-\lambda I)^{k+1} 的最小 k 值,由 (BA)^2=(BA)^3=0 可知 k\le 2,此值即為最大 Jordan block 的尺寸 k\times k,故每個 Jordan block 都為 1\times 12\times 2,推論 Jordan block 總數大於或等於 n/2

    好像我該寫些 Jordan form 的簡單容易應用文以幫助讀者朋友了解這個主題。

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