Jordan 形式大解讀 (上)

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給定兩個同階方陣 AB,要怎麼判斷 A 是否相似於 B?理論上,我們可以根據相似矩陣的定義來判定:若存在一可逆矩陣 S 使得 A=SBS^{-1},則 A 相似於 B。對於 n\times n 階矩陣 AB,相似關係 AS=SB 給出一個包含 n^2 個未知數 (S 的所有元) 的線性方程,很明顯,直接解 S 矩陣絕不是一個理想的方法。相似矩陣擁有許多不變性質,例如,特徵多項式、特徵值、行列式、跡數,和矩陣秩 (詳見“相似變換下的不變性質”),然而這些性質都不足以構成相似關係的充要條件。在“如何檢查兩矩陣是否相似”一文,我們曾經以特徵值和可對角化兩性質嘗試回答此問題,但並未獲得完整的結論。判斷兩矩陣是否相似的終極方法是檢查它們的 Jordan 形式 (Jordan form):若 AB 有相同的 Jordan 形式,則 A 相似於 B,相反方向的論述也成立 (參閱“Jordan 典型形式淺說(上)”)。

 
在我們往下討論之前,先介紹一個矩陣構造方式。對於任意 m\times n 階矩陣 Ap\times q 階矩陣 B,它們的直和 (direct sum) 為一個 (m+p)\times(n+q) 階矩陣,簡記為 A\oplus B,定義如下 (此直和不同於子空間直和,見“補子空間與直和”):

A\oplus B=\begin{bmatrix}    A&0\\    0&B    \end{bmatrix}

例如,

\begin{bmatrix}    1&1&1\\    1&2&3    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    2&4\\    6&8    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    1&1&1&\vline&0&0\\    1&2&3&\vline&0&0\\\hline    0&0&0&\vline&2&4\\    0&0&0&\vline&6&8    \end{bmatrix}

矩陣直和具有簡化冪矩陣表達的優點。若 Am\times mBn\times nA\oplus B 是分塊對角矩陣,它的冪矩陣形式非常簡單:

(A\oplus B)^k=\begin{bmatrix}    A^k&0\\    0&B^k    \end{bmatrix}=A^k\oplus B^k

 
Jordan 分解定理說明 Jordan 矩陣 J 即為每個「相似家族」的代表矩陣,詳述於下。令 An\times n 階矩陣,Ak~(k\le n) 個相異特徵值 \lambda_ii=1,\ldots,k。存在一 n\times n 階可逆矩陣 M 使得

A=M\begin{bmatrix}    J(\lambda_1)&0&\cdots&0\\    0&J(\lambda_2)&\cdots&0\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\    0&0&\cdots&J(\lambda_k)    \end{bmatrix}M^{-1}=MJM^{-1}

Jordan 矩陣 J 由一組「超級」Jordan 分塊 (請注意,這並非通用的名稱) J(\lambda_i) 的直和構成:

J=J(\lambda_1)\oplus J(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k)

對應每一特徵值 \lambda_i,超級 Jordan 分塊 J(\lambda_i) 為一 \beta_i\times\beta_i 階矩陣,由次級的 n_i 個「基本」Jordan 分塊 (一般直接稱 Jordan 分塊) 的直和形成,如下:

J(\lambda_i)=\begin{bmatrix}    J_1(\lambda_i)&0&\cdots&0\\    0&J_2(\lambda_i)&\cdots&0\\    \vdots&\vdots&\ddots&\ddots\\    0&0&\cdots&J_{n_i}(\lambda_i)    \end{bmatrix}=J_1(\lambda_i)\oplus J_2(\lambda_i)\oplus\cdots\oplus J_{n_i}(\lambda_i)

其中基本 Jordan 分塊 J_{\ast}(\lambda_i) (\ast 代表編號,並非該分塊的尺寸大小) 是具有下列形式的上三角矩陣:

J_{\ast}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}    \lambda_i&1&~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&\lambda_i    \end{bmatrix}

特徵值 \lambda_i 佔據基本 Jordan 分塊的主對角元,緊鄰主對角元之上的元都是 1。超級 Jordan 分塊包含 \beta_i 個特徵值 \lambda_i,可知 \beta_i 即為 \lambda_i 的代數重數 (即特徵值的相重數),因此 \beta_1+\cdots+\beta_k=n。超級 Jordan 分塊內的基本 Jordan 分塊通常按由大至小的遞減方式排序,若排除超級 Jordan 分塊和基本 Jordan 分塊的排列變化,任意方陣 A 都有唯一的 Jordan 矩陣 J

 
給定一 Jordan 矩陣 J,我們能夠從 J 的矩陣結構讀出有關這個「相似家族」共同擁有的大量訊息,以下分別就特徵值、代數重數、特徵向量、幾何重數、Jordan 分塊結構,和可對角化判定等幾個性質加以說明。

 
(1) 特徵值和代數重數

Jordan 矩陣 J 為上三角矩陣,故其主對角元即為特徵值。例如,J_A6 階方陣 A 的 Jordan 形式:

\begin{aligned}  J_A&=J_A(2)\oplus J_A(3)\\  &=\begin{bmatrix}    2&1&0&\vline&0\\    0&2&1&\vline&0\\    0&0&2&\vline&0\\\hline    0&0&0&\vline&2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}\\    &=\begin{bmatrix}    2&1&0\\    0&2&1\\    0&0&2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}\end{aligned}

J_B6 階方陣 B 的 Jordan 形式:

\begin{aligned}  J_B&=J_B(2)\oplus J_B(3)\\  &=\begin{bmatrix}    2&1&\vline&0&0\\    0&2&\vline&0&0\\\hline    0&0&\vline&2&1\\    0&0&\vline&0&2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}\\    &=\begin{bmatrix}    2&1\\    0&2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    2&1\\    0&2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}\end{aligned}

上式中,我們分別以超級 Jordan 分塊和基本 Jordan 分塊來表示 Jordan 矩陣。方陣 AB 有相同的特徵值多重集 (multiset) \{2,2,2,2,3,3\},我們說特徵值 \lambda=2 的代數重數為 4\lambda=3 的代數重數為 2。不過,J_AJ_B 的分塊結構不同,這說明了擁有相同特徵值 (包含代數重數) 的兩矩陣不見得相似。

 
(2) 特徵向量和幾何重數

從 Jordan 矩陣 J 的特殊結構,我們可以輕易得到特徵向量。每一個 m 階基本 Jordan 分塊 J_{\ast}(\lambda) 都可表示為

\begin{aligned}  J_{\ast}(\lambda)&=\begin{bmatrix}    \lambda&1&~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&\lambda    \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}    \lambda&~&~&~\\    ~&\ddots&~&~\\    ~&~&\ddots&~\\    ~&~&~&\lambda    \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}    0&1&~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&0    \end{bmatrix}\\    &=\lambda I_m+J_{\ast}(0)\end{aligned}

其中 J_{\ast}(0)=J_{\ast}(\lambda)-\lambda I_m 的特徵值全是零,稱作冪零 (nilpotent) 矩陣,此名稱來自於 J_{\ast}(0)^m=0,本文稍後將使用這個性質 (見“特殊矩陣(1):冪零矩陣”)。觀察發現 \mathrm{rank}J_{\ast}(0)=m-1,由秩—零度定理得知 \mathrm{dim}N(J_{\ast}(0))=m-\mathrm{rank}J_{\ast}(0)=1。對應特徵值 0 的特徵空間僅有一個特徵向量,令 \mathbf{e}_i 代表 \mathbb{C}^m 空間的第 i 個標準單位向量 (第 i 元為 1,其餘元為 0),明顯地,J_{\ast}(0)\mathbf{e}_1=\mathbf{0},而且 J_{\ast}(0)\mathbf{e}_{2}=\mathbf{e}_1J_{\ast}(0)\mathbf{e}_3=\mathbf{e}_2,餘此類推直至 J_{\ast}(0)\mathbf{e}_m=\mathbf{e}_{m-1}。將這些結果代入計算 J_{\ast}(\lambda)\mathbf{e}_i,可得

\begin{aligned}  J_{\ast}(\lambda)\mathbf{e}_1&=\lambda\mathbf{e}_1\\    J_{\ast}(\lambda)\mathbf{e}_{i+1}&=\lambda\mathbf{e}_{i+1}+\mathbf{e}_i,~~i=1,\ldots,m-1.\end{aligned}

 
每一個基本 Jordan 分塊 J_{\ast}(\lambda) 只有一個特徵向量 \mathbf{e}_1,其他 m-1 個標準單位向量 \mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_3,\ldots,\mathbf{e}_m 稱為廣義特徵向量 (generalized eigenvector)。超級 Jordan 分塊 J(\lambda_i) 包含 n_i 個基本 Jordan 分塊,因此斷定對應特徵值 \lambda_i 的線性獨立特徵向量總數,或稱為幾何重數,即等於所含的基本 Jordan 分塊個數 n_i,這也說明了對應 \lambda_i 的幾何重數必不大於代數重數 (即超級 Jordan 分塊階數)。上例中,6 階方陣 J_A 對應各基本 Jordan 分塊的特徵向量為

\begin{aligned}  \begin{bmatrix}    2&1&0\\    0&2&1\\    0&0&2    \end{bmatrix}&~\to~\mathbf{e}_1=(1,0,0,0,0,0)^T\\    \begin{bmatrix}    2    \end{bmatrix}&~\to~\mathbf{e}_4=(0,0,0,1,0,0)^T\\    \begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}&~\to~\mathbf{e}_5=(0,0,0,0,1,0)^T\end{aligned}

J_B 對應各 Jordan 分塊的特徵向量則為

\begin{aligned}  \begin{bmatrix}    2&1\\    0&2    \end{bmatrix}&~\to~\mathbf{e}_1=(1,0,0,0,0,0)^T\\    \begin{bmatrix}    2&1\\    0&2    \end{bmatrix}&~\to~\mathbf{e}_3=(0,0,1,0,0,0)^T\\    \begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}&~\to~\mathbf{e}_5=(0,0,0,0,1,0)^T\end{aligned}

除了有相同的特徵值,J_AJ_B 對應每一特徵值也有相同的幾何重數,但特徵向量不同,所以僅由特徵值以及對應的代數重數和幾何重數仍不能保證兩矩陣有相似關係,我們必須知道對應每一特徵值的基本 Jordan 分塊的大小。

 
(3) Jordan 分塊結構

上面的分析結果顯示 \beta_i\times\beta_i 階超級 Jordan 分塊決定了特徵值 \lambda_i 的代數重數 \beta_i 和幾何重數 n_i。反過來說,超級 Jordan 分塊的結構又是如何形成的?更精確的說法是,究竟矩陣的哪些要素可以決定超級 Jordan 分塊內的基本 Jordan 分塊結構?

 
我們用一個例子來說明。看下面這個 8\times 8 階超級 Jordan 分塊:

J(2)=\begin{bmatrix}    2&1&0\\    0&2&1\\    0&0&2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    2&1\\    0&2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    2&1\\    0&2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    2    \end{bmatrix}

考慮由此衍生的對應特徵值 0 的超級 Jordan 分塊:

J(0)=J(2)-2I=\begin{bmatrix}    0&1&0\\    0&0&1\\    0&0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0    \end{bmatrix}

對應零特徵值的基本 Jordan 分塊 J_{\ast}(0) 的冪矩陣透露此分塊尺寸的訊息,以 4 階方陣為例,

\begin{aligned}  J_{\ast}(0)&=\begin{bmatrix}    0&1&0&0\\    0&0&1&0\\    0&0&0&1\\    0&0&0&0    \end{bmatrix},~J_{\ast}(0)^2=\begin{bmatrix}    0&0&1&0\\    0&0&0&1\\    0&0&0&0\\    0&0&0&0    \end{bmatrix}\\  J_{\ast}(0)^3&=\begin{bmatrix}    0&0&0&1\\    0&0&0&0\\    0&0&0&0\\    0&0&0&0    \end{bmatrix},~J_{\ast}(0)^4=0\end{aligned}

得知 \mathrm{rank}J_{\ast}(0)=3\mathrm{rank}J_{\ast}(0)^2=2\mathrm{rank}J_{\ast}(0)^3=1\mathrm{rank}J_{\ast}(0)^4=0

 
推廣到一般 m 階零特徵值 Jordan 分塊,定義 \mathrm{rank}J_{\ast}(0)^0=m,當 p=1,\ldots,m\mathrm{rank}J_{\ast}(0)^{p}=\mathrm{rank}J_{\ast}(0)^{p-1}-1,而當 p\ge m\mathrm{rank}J_{\ast}(0)^p=0。也就是說,m 階基本 Jordan 分塊的矩陣秩從 m 開始 (對應 J_{\ast}(0)^0),隨著冪矩陣次數增加逐漸減少至 0。由此推論超級 Jordan 分塊 J(0)=J(2)-2I 每增加一次冪所損失的矩陣秩,亦即 d_p=\mathrm{rank}J(0)^{p-1}-\mathrm{rank}J(0)^p,恰好等於階數大於或等於 p 的基本 Jordan 分塊總數,所以,p 階基本 Jordan 分塊個數即為 b_p=d_p-d_{p+1}。上例中,

\begin{aligned}  J(0)^2&=(J(2)-2I)^2\\  &=\begin{bmatrix}    0&1&0\\    0&0&1\\    0&0&0    \end{bmatrix}^2\oplus\begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix}^2\oplus\begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix}^2\oplus\begin{bmatrix}    0    \end{bmatrix}^2\\    &=\begin{bmatrix}    0&0&1\\    0&0&0\\    0&0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0&0\\    0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0&0\\    0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0    \end{bmatrix}\end{aligned}

\begin{aligned}  J(0)^3&=(J(2)-2I)^3\\  &=\begin{bmatrix}    0&1&0\\    0&0&1\\    0&0&0    \end{bmatrix}^3\oplus\begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix}^3\oplus\begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix}^3\oplus\begin{bmatrix}    0    \end{bmatrix}^3\\  &=\begin{bmatrix}    0&0&0\\    0&0&0\\    0&0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0&0\\    0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0&0\\    0&0    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0    \end{bmatrix}=0\end{aligned}

最後結果 J(0)^3=0 顯示超級 Jordan 分塊 J(2) 的最大基本 Jordan 分塊為 3 階,這個數字也稱為指標 (index)。設定 r_0 等於 J(0) 的階數,以下整理了超級 Jordan 分塊 J(0) 的冪矩陣秩:

\begin{aligned}  r_0&=\mathrm{rank}J(0)^0\equiv 8\\    r_1&=\mathrm{rank}J(0)=4\\    r_2&=\mathrm{rank}J(0)^2=1\\    r_3&=\mathrm{rank}J(0)^3=0\end{aligned}

再計算矩陣秩差額 d_p

\begin{aligned}  d_1&=r_0-r_1=8-4=4\\    d_2&=r_1-r_2=4-1=3\\    d_3&=r_2-r_3=1-0=1\\    d_4&=r_3-r_4=0-0=0\end{aligned}

最後計算各尺寸的基本 Jordan 分塊個數數,如下:

\begin{aligned}  b_1&=d_1-d_2=4-3=1\\      b_2&=d_2-d_3=3-1=2\\    b_3&=d_3-d_4=1-0=1\end{aligned}

得知 Jordan 形式包含 11 階基本分塊,22 階基本分塊,和 13 階基本分塊。

 
(4) 可對角化

任一 n\times n 階可對角化矩陣的充要條件是存在完整的 n 個線性獨立特徵向量,或者說,對於每一個特徵值 \lambda_i,代數重數等於幾何重數,即 \beta_i=n_i (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)。可對角化也表現在 Jordan 矩陣 J 的分塊結構上,因為 \beta_i 為超級 Jordan 分塊的階數,n_i 為超級 Jordan 分塊所含的基本 Jordan 分塊個數,推知可對角化矩陣的 Jordan 矩陣 J 必定只允許 1\times 1 階基本 Jordan 分塊,另一個說法是每個超級 Jordan 分塊 J(\lambda_i) 的指標都必須為 1

 
下面舉一個例子總結本文的討論。考慮 10 階方陣 A 的 Jordan 矩陣:

J=\begin{bmatrix}    5&1\\    0&5    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    5    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    4&1&0\\    0&4&1\\    0&0&4    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}

縱使不曉得 A 矩陣為何,我們仍可解讀出以下有關 A 的訊息:

  • 方陣 A 的相異特徵值集合為 \{5,4,3\}
  • 特徵值 5 的代數重數為 3,幾何重數為 2,指標為 2
  • 特徵值 4 的代數重數為 3,幾何重數為 1,指標為 3
  • 特徵值 3 的代數重數為 4,幾何重數為 2,指標為 2
  • 方陣 A 不可對角化。

 
到目前為止,我們尚未說明如何計算一 n\times n 階矩陣 A 的 Jordan 形式 J。“Jordan 典型形式淺說(下)”曾經提供一個建立在子空間分析的演算法,但從以上分析過程也能發展出一套算法,我們將在下文詳細討論。

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14 Responses to Jordan 形式大解讀 (上)

  1. 無極真人 說道:

    請問老師,何為jordan form?
    網路上查了,但是看不懂(我是線代光碟的讀者)

  2. ccjou 說道:

    線性代數有兩座聖母峰,一是奇異值分解,另一則是 Jordan form,一般基礎線性代數課程不介紹 Jordan form,故此主題並未納入教學光碟。

    當矩陣是不可對角化時,即 A 不相似於由特徵值組成的主對角矩陣 \Lambda,Jordan form J 是我們能找到最接近對角化的相似矩陣,其主對角元仍為特徵值,但主對角元之上多了一些 1,也就是說 Jordan form 是一種主對角分塊矩陣。

    要完全了解 Jordan form 需要花費一些力氣,你可以先閱讀「Jordan 典型形式(上)」
    https://ccjou.wordpress.com/2009/07/15/jordan-%E5%85%B8%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F-%E4%B8%8A/
    然後再回頭閱讀此文和 “Jordan 形式大解讀(下)",若有疑問可以提出來討論。

  3. levinc 說道:

    老師:
    請問在【(2) 特徵向量和幾何重複數】那部份中,
    我不了解為何可說 其他e_2,\ldots,e_m 為廣義特徵向量呀?

    謝謝老師~~

  4. ccjou 說道:

    在「拒絕行列式的特徵分析」裡有解釋:

    我們定義 \mathbf{x} 為對應特徵值 \lambda 的廣義特徵向量(generalized eigenvector)若
    (A-\lambda I)^k\mathbf{x}=\mathbf{0}
    其中 k 為滿足上式的最小正整數,稱為指標(index)。當 k=1 時,廣義特徵向量即為一般特徵向量。如同特徵向量構成特徵空間,廣義特徵向量所形成的集合再加入零向量也是 \mathbb{C}^n 中的一個子空間,即 N(A-\lambda I)^k,我們稱它為廣義特徵空間。

    另一個定義如本文所述,例如,
    \begin{bmatrix} 2&1&0\\ 0&2&1\\ 0&0&2 \end{bmatrix}
    A-2I 的零空間維度為 1,因此僅存在一個特徵向量 \mathbf{e}_1=(1,0,0)A\mathbf{e}_1=2\mathbf{e}_1,還缺兩個怎麼辦?試驗發現
    A\mathbf{e}_2=2\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_1
    A\mathbf{e}_3=2\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_2
    向量 \mathbf{e}_2=(0,1,0)\mathbf{e}_3=(0,0,1) 雖不是特徵向量,除了摻了點雜質之外,其實已相當接近。我們很滿意這些向量能夠組成基底,所以稱之為廣義特徵向量。

  5. ccjou 說道:

    好像還是沒說清楚,不如這樣吧,我再找個時間寫一篇詳細解釋廣義特徵向量好了。

  6. levinc 說道:

    第一個定義我知道,但我不了解怎麼跟第二個定義結合?

  7. ccjou 說道:

    喔,了解你的問題。我在「Jordan 形式大解讀(下)」提到這件事,但只是一句話。

    如果我們有
    A\mathbf{x}_1=\lambda\mathbf{x}_1
    A\mathbf{x}_2=\lambda\mathbf{x}_2+\mathbf{x}_1
    A\mathbf{x}_3=\lambda\mathbf{x}_3+\mathbf{x}_2
    也就等價於
    (A-\lambda I)\mathbf{x}_1=\mathbf{0}
    (A-\lambda I)\mathbf{x}_2=\mathbf{x}_1
    (A-\lambda I)\mathbf{x}_3=\mathbf{x}_2
    利用這些式子,就有
    (A-\lambda I)^2\mathbf{x}_2=(A-\lambda I)\mathbf{x}_1=\mathbf{0}
    (A-\lambda I)^3\mathbf{x}_3=(A-\lambda I)^2\mathbf{x}_2=\mathbf{0}
    這就是有些書本使用的廣義特徵向量定義:k=1,2,\ldots
    (A-\lambda I)^k\mathbf{x}_k=\mathbf{0}

  8. levinc 說道:

    原來如此阿…腦袋怎會轉不過來呢(敲腦袋)
    謝謝老師!!
    Jordan form 實在有趣阿~~

  9. levinc 說道:

    老師,請問您上面所表達的Jordan form可否另表達為:
    J=J_{n1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{nk}(\lambda_k),
    n1 + n2 + \cdots + nk = n ? (合併超級block跟基本block)

    好像不太一樣…..

  10. ccjou 說道:

    你說的是很多書本採用的寫法,n_i 直接表示各分塊的尺寸,但 \lambda_i 彼此未必相異。我為了要說明演算法,所以才使用上文的方式,將 Jordan form 的結構切成兩層,缺點是沒有用下標表明各分塊的尺寸。

  11. levinc 說道:

    喔,豁然開朗! 老師文中所定義的J(\lambda_i)=J_1(\lambda_i)\oplus \cdots \oplus J_{ni}(\lambda_i), 此處的ni 與上面回響裡的ni不同,文中的\beta_i才是相當於上面的ni,也就是特徵值的代數重數。是這樣吧? ^^

  12. ccjou 說道:

    是的,此處的 n_i 是說有幾個對應 \lambda_i 的基本 Jordan blocks.

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