不可逆矩陣的特徵多項式

本文的閱讀等級：中級

請看下面這個 $4\times 4$ 階矩陣：

$A=\left[\!\!\begin{array}{rrrc} 0&-3&1&2\\ -2&1&-1&2\\ -2&1&-1&2\\ -2&-3&1&4 \end{array}\!\!\right]$ ，

求 $A$ 的特徵多項式 (取自“2006 年台大數學系碩士班入學試題”)。

令 $A=[a_{ij}]$ 為一 $n\times n$ 階矩陣，定義 $A$ 的特徵多項式為

$p_A(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\det(tI_n-A)$ 。

將行列式展開可以得到 $p_A(t)$ 的一般形式，其中各係數由 $A$ 的主子陣行列式之和構成 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”)，以三階方陣為例，

$\begin{aligned} p_A(t)&=t^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})t^2+\left(\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\right)t-\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}.\end{aligned}$

三階方陣的特徵多項式係數呈現一種規律的模式，由此不難得到四階甚至更高階方陣的特徵多項式，同時我們也可以想見一般矩陣的特徵多項式需要大量的計算。上例中， $A$ 有相同的第 $2$ 列 (row) 和第 $3$ 列，因此是不可逆矩陣， $A$ 有至少一個零特徵值，也就是說，特徵多項式包含因式 $t^k$ ， $k\ge 1$ ，故 $p_A(t)$ 有下面這個形式：

$p_A(t)=t^kq(t)$ ，

其中 $q(t)$ 為 $n-k$ 次多項式。下文解說如何利用不可逆矩陣特性簡化特徵多項式的計算。

將矩陣 $A$ 的 $3$ 個線性獨立列挑選出來，再加入一零列組成矩陣 $Y$ ，可得

$Y=\left[\!\!\begin{array}{rrrc} 0&-3&1&2\\ -2&1&-1&2\\ -2&-3&1&4\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]$ 。

因為 $A$ 的列空間等於 $Y$ 的列空間， $A$ 的任一列都可表示為 $Y$ 的列線性組合，如下：

$A=\left[\!\!\begin{array}{rrrc} 0&-3&1&2\\ -2&1&-1&2\\ -2&1&-1&2\\ -2&-3&1&4 \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{rrrc} 0&-3&1&2\\ -2&1&-1&2\\ -2&-3&1&4\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]=XY$ 。

為簡化結果，我們設組合矩陣 $X$ 的第 $4$ 行為零向量。

接下來的解析過程可能讓很多讀者驚訝不已。矩陣 $X$ 的最末行為零行，矩陣 $Y$ 的最底列為零列， $YX$ 會是什麼樣的矩陣？看看計算結果：

$YX=\left[\!\!\begin{array}{rrrc} 0&-3&1&2\\ -2&1&-1&2\\ -2&-3&1&4\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rrcc} 0&-2&2&0\\ -2&0&2&0\\ -2&-2&4&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]$ 。

我們發現 $YX$ 是一個包含零分塊的分塊對角矩陣。令 $YX=\begin{bmatrix} B&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ ，其中

$B=\left[\!\!\begin{array}{rrc} 0&-2&2\\ -2&0&2\\ -2&-2&4 \end{array}\!\!\right]$ 。

引領我們衝出迷霧安全駛入港口的燈塔訊號有二：當 $X$ 和 $Y$ 同為 $n$ 階方陣時， $XY$ 和 $YX$ 有相同的特徵多項式 (見“AB 和 BA 有何關係？”)，而且分塊對角矩陣的特徵多項式即為所有主對角分塊的特徵多項式之積 (參閱“分塊矩陣特徵值的計算方法”)，因此可得

$\begin{aligned} p_A(t)&=\det(tI_4-A)=\det(tI_4-XY)=\det(tI_4-YX)\\ &=t\cdot\det(tI_3-B)=t\cdot p_B(t).\end{aligned}$

很容易算出

$p_B(t)=\det(tI_3-B)=\begin{vmatrix} t-0&2&-2\\ 2&t-0&-2\\ 2&2&t-4 \end{vmatrix}=t(t-2)^2$ ，

最後得到 $p_A(t)=t^2(t-2)^2$ 。

從相反方向來看，若 $\mathrm{rank}A=1$ ，可令 $A=\mathbf{x}\mathbf{y}^T$ ， $b=\mathbf{y}^T\mathbf{x}$ ，則 $n$ 階方陣的特徵多項式為 $p_A(t)=t^{n-1}(t-b)$ 。若 $\mathrm{rank}A=2$ ，可令

$A=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{y}_1^T\\ \mathbf{y}_2^T \end{bmatrix}$ ，

$B=\begin{bmatrix} \mathbf{y}_1^T\\ \mathbf{y}_2^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{y}_1^T\mathbf{x}_1&\mathbf{y}_1^T\mathbf{x}_2\\ \mathbf{y}_2^T\mathbf{x}_1&\mathbf{y}_2^T\mathbf{x}_2 \end{bmatrix}$ 。

由此可得 $p_A(t)=t^{n-2}\det(tI_2-B)$ 。按照此程序，若 $\mathrm{rank}A=r<n$ ，特徵多項式 $p_A(t)$ 具有下面的形式：

$p_A(t)=t^{n-r}\det(tI_{r}-B)$ ，

其中 $B$ 為 $r\times r$ 階矩陣，這也指出 $n\times n$ 階不可逆矩陣 $A$ 的零特徵值的相重數必定大於或等於 $\dim N(A)=n-\mathrm{rank}A$ 。

1 Response to 不可逆矩陣的特徵多項式

mwvbx says:

07/23/2018 at 6:20 am

补充公式:
t^n * det(tI-AB)=t^m * det(tI-BA)
其中A是m*n，B是n*m。
老师最终得出的公式可用此关系直接推导。

且n-r就是dimkerA，这是很显然的，一开始就可以分析出来的。

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