## Jordan 形式大解讀 (下)

Jordan 矩陣 $J$ 由對應相異特徵值 $\lambda_i$ 的超級 Jordan 分塊 $J(\lambda_i)$ 的直和構成：

$\displaystyle J=J(\lambda_1)\oplus J(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k)=\bigoplus_{i=1}^k J(\lambda_i)$

$(A-\lambda I)^p=(M(J-\lambda I)M^{-1})^p=M(J-\lambda I)^pM^{-1}$

$\displaystyle J-\lambda_{i}I=\bigoplus_{j=1}^k J(\lambda_j)-\bigoplus_{j=1}^k \lambda_i I_{\beta_j}=\bigoplus_{j=1}^k(J(\lambda_j)-\lambda_i I_{\beta_j})$

$\displaystyle (J-\lambda_i I)^p=\bigoplus_{j=1}^k(J(\lambda_j)-\lambda_i I_{\beta_j})^p$

$\mathrm{rank}(A\oplus B)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix} A&0\\ 0&B \end{bmatrix}=\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B$

$\displaystyle \mathrm{rank}(J-\lambda_{i}I)^p=\sum_{j=1}^k\mathrm{rank}(J(\lambda_j)-\lambda_{i}I_{\beta_j})^p$

$j\neq i$$(J(\lambda_j)-\lambda_{i}I_{\beta_j})^p$ 的主對角元皆不為零，也就是說，對於任意 $p$$(J(\lambda_j)-\lambda_iI_{\beta_j})^p$ 都是滿秩的，$\mathrm{rank}(J(\lambda_j)-\lambda_{i}I_{\beta_j})^p=\beta_j$。因為 $\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_k=n$，可得

$r_p(\lambda_i)\equiv\mathrm{rank}(J-\lambda_{i}I)^p=n-\beta_i+\mathrm{rank}(J(\lambda_i)-\lambda_{i}I_{\beta_i})^p$

\begin{aligned} d_p(\lambda_i)&=\mathrm{rank}(J(\lambda_i)-\lambda_{i}I_{\beta_i})^{p-1}-\mathrm{rank}(J(\lambda_i)-\lambda_{i}I_{\beta_i})^p\\ &=r_{p-1}(\lambda_i)-r_p(\lambda_i),~~ p=1,2,\ldots\end{aligned}

$b_p(\lambda_i)\equiv d_p(\lambda_i)-d_{p+1}(\lambda_i),~~p=1,2,\ldots$

$A=\begin{bmatrix} 8&0&0&8&8\\ 0&0&0&8&8\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&8 \end{bmatrix}$

$J=\begin{bmatrix} J(8)&0\\ 0&J(0) \end{bmatrix}$

$\lambda_1=8$

\begin{aligned} r_0(8)&\equiv 5\\ r_1(8)&=\mathrm{rank}(A-8I)=4\\ r_2(8)&=\mathrm{rank}(A-8I)^2=3\\ r_3(8)&=\mathrm{rank}(A-8I)^3=3\end{aligned}

$\lambda_2=0$

\begin{aligned} r_0(0)&\equiv 5\\ r_1(0)&=\mathrm{rank}(A-0I)=3\\ r_2(0)&=\mathrm{rank}(A-0I)^2=2\\ r_3(0)&=\mathrm{rank}(A-0I)^3=2\end{aligned}

$\lambda_1=8$

\begin{aligned} d_1(8)&=r_0(8)-r_1(8)=5-4=1\\ d_2(8)&=r_1(8)-r_2(8)=4-3=1\\ d_3(8)&=r_2(8)-r_3(8)=3-3=0\end{aligned}

$\lambda_2=0$

\begin{aligned} d_1(0)&=r_0(0)-r_1(0)=5-3=2\\ d_2(0)&=r_1(0)-r_2(0)=3-2=1\\ d_3(0)&=r_2(0)-r_3(0)=2-2=0\end{aligned}

$\lambda_1=8$

\begin{aligned} b_1(8)&=d_1(8)-d_2(8)=1-1=0\\ b_2(8)&=d_2(8)-d_3(8)=1-0=1\end{aligned}

$\lambda_2=0$

\begin{aligned} b_1(0)&=d_1(0)-d_2(0)=2-1=1\\ b_2(0)&=d_2(0)-d_3(0)=1-0=1\end{aligned}

$J(8)=\begin{bmatrix} 8&1\\ 0&8 \end{bmatrix},~ J(0)=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}$

Jordan 矩陣 $J$ 即為

$J=\begin{bmatrix} J(8)&0\\ 0&J(0) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8&1&\vline&0&0&0\\ 0&8&\vline &0&0&0\\\hline 0&0&\vline &0&1&0\\ 0&0&\vline &0&0&0\\ 0&0&\vline&0&0&0 \end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix} \cdots&\mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_m&\cdots \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cdots&\mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_m&\cdots \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ddots&~&~\\ ~&J_{\ast}(\lambda)&~\\ ~&~&\ddots \end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_m \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_m \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda&1&~&~\\ ~&\ddots&\ddots&~\\ ~&~&\ddots&1\\ ~&~&~&\lambda \end{bmatrix}$

\begin{aligned} A\mathbf{x}_1=\lambda\mathbf{x}_1~~&\Rightarrow~~(A-\lambda I)\mathbf{x}_1=\mathbf{0}\\ A\mathbf{x}_2=\mathbf{x}_1+\lambda\mathbf{x}_2~~&\Rightarrow~~(A-\lambda I)\mathbf{x}_2=\mathbf{x}_1\\ A\mathbf{x}_3=\mathbf{x}_2+\lambda\mathbf{x}_3~~&\Rightarrow~~(A-\lambda I)\mathbf{x}_3=\mathbf{x}_2\\ &\vdots\\ A\mathbf{x}_m=\mathbf{x}_{m-1}+\lambda\mathbf{x}_m~~&\Rightarrow~~(A-\lambda I)\mathbf{x}_m=\mathbf{x}_{m-1}\end{aligned}

\begin{aligned} AM&=A\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\mathbf{x}_3&\mathbf{x}_4&\mathbf{x}_5 \end{bmatrix}=MJ=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\mathbf{x}_3&\mathbf{x}_4&\mathbf{x}_5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8&1&0&0&0\\ 0&8&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}\end{aligned}

\begin{aligned} A\mathbf{x}_1=8\mathbf{x}_1~~&\Rightarrow~~\mathbf{x}_1=(8,0,0,0,0)^T\\ A\mathbf{x}_2=\mathbf{x}_1+8\mathbf{x}_2~~&\Rightarrow~~\mathbf{x}_2=(0,1,0,0,1)^T\\ A\mathbf{x}_3=0\mathbf{x}_3~~&\Rightarrow~~\mathbf{x}_3=(0,8,0,0,0)^T\\ A\mathbf{x}_4=\mathbf{x}_3+0\mathbf{x}_4~~&\Rightarrow~~\mathbf{x}_4=(-1,0,0,1,0)^T\\ A\mathbf{x}_5=0\mathbf{x}_5~~&\Rightarrow~~\mathbf{x}_5=(0,0,1,0,0)^T\end{aligned}

$M=\left[\!\!\begin{array}{cccrc} 8&0&0&-1&0\\ 0&1&8&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0 \end{array}\!\!\right]$

1. 求出 $A$ 的所有相異特徵值 $\lambda_i$$i=1,\ldots,k$，如果可能的話直接解出特徵多項式的根。提醒讀者，這是最麻煩的計算步驟。
2. 針對 $A$ 的每個相異特徵值 $\lambda_i$，計算 $\mathrm{rank}(A-\lambda_iI)^p$$p=1,2,\ldots$，直到矩陣秩不改變為止，分析計算結果可得超級 Jordan 分塊 $J(\lambda_i)$，它們的直和即為 Jordan 矩陣 $J$
3. $A$ 的每個相異特徵值 $\lambda_i$，根據步驟 (2) 得到的超級 Jordan 分塊 $J(\lambda_i)$ 解出對應各基本 Jordan 分塊的特徵向量和廣義特徵向量，相似變換矩陣 $M$ 即由這些向量組成。

### 11 Responses to Jordan 形式大解讀 (下)

1. levinc 說道：

一個小地方不甚明白:
Jordan 形式之所以不具數值穩定性的原因在於 矩陣秩rank(A)不為A的連續函數.

可以請老師再說明清楚一點嗎？ 謝謝喔

2. ccjou 說道：

我應該這樣說：矩陣 $A$ 的 Jordan form $J$ 未必是 $A$ 各元 $a_{ij}$ 的連續函數，如上面的例子所顯示的那樣。

然後，我應該再說：本文以計算 $\mathrm{rank}(A-\lambda I)^p$ 方式求得 $J$ 矩陣的演算法不具備數值穩定性，因為 $\mathrm{rank}A$ 不是一個連續函數，$\mathrm{rank}(A)$ 可能因為受到微小擾動而產生大改變。

MATLAB 計算 Jordan form 的指令說明如下：
http://www.mathworks.com/help/toolbox/symbolic/jordan.html

J = jordan(A) computes the Jordan canonical (normal) form of a symbolic or numeric matrix A. The Jordan form of a numeric matrix is extremely sensitive to numerical errors. To compute Jordan canonical form of a matrix, represent the elements of the matrix by integers or ratios of small integers, if possible.

3. ayl 說道：

上篇所讲“超级块$J(0)$每增加一次幂损失的矩阵秩，恰好等于阶数大于或等于 p 的基本Jordan 分块总数”不甚了解。此讲中演算得出的$J-\lambda I$每增加一次幂所损失的矩阵秩可以用对应的超级块来计算， 但这算出来的值又如何与某个超级快$J(\lambda_i)-\lambda_i I$的具体分块方式有联系呢，毕竟一个是$J$而另一个$J(\lambda_i)$

• ccjou 說道：

我將你的迴響編輯過以正確顯示LaTeX，方法是在 $J(0)$ 的第一個$後面加入latex和一個空格。 Jordan form $J$ 可以表示為超級Jordan 分塊$J(\lambda_i)$的直和，因此解析過程是針對每一個特徵值$\lambda_i$，找出$J(\lambda_i)$的基本分塊結構。而後者可由冪零矩陣 $\text{rank}(J(\lambda_i)-\lambda_iI)^p$ 算得(過程如上文(3)Jordan 分塊所述，有些複雜，你可能要多讀幾遍)，關鍵式： $\displaystyle \text{rank}(J-\lambda_{i}I)^p=\sum_{j=1}^k\mathrm{rank}(J(\lambda_j)-\lambda_{i}I_{\beta_j})^p$ $A-\lambda_iI$ 相似於 $J-\lambda_iI$，因此我們可以直接從 $A$ 推導出超級Jordan 分塊 $J(\lambda_i)$ • ayl 說道： 可能我是学习软件工程，而非数学专业，所以有些吃力。又看几遍后，这是我的理解思路，我将整个过程调整了顺序，老师您看看对不对：一，正如上篇所讲，超级块 $J(\lambda_i)$结构可由对应的矩阵$J(\lambda_i)-\lambda_i I$相邻幂之间的矩阵秩差值求得。二，通过演算发现$J(\lambda_i)-\lambda_i I$的矩阵秩的差值可由矩阵J的差值表示，而不需要知道具体每个超级块大小，（当然这也是因为我们无法知道J，所以无法知道每个超级块形状，否则直接就可以算超级块的矩阵秩差值）也就是结论$d_p(\lambda_i)=r_{p-1}(\lambda_i)-r_p(\lambda_i)$。三，由于我们不知道矩阵J，然而却可以根据相似，通过原始矩阵A来求得矩阵J的秩。 • ayl 說道： 不好意思，第一次公式没能显示，再写一次。可能我是学习软件工程，而非数学专业，所以有些吃力。又看几遍后，这是我的理解思路，我将整个过程调整了顺序，老师您看看对不对：一，正如上篇所讲，超级块$J(\lambda_i)$结构可由对应的矩阵$J(\lambda_i)-\lambda_i I$相邻幂之间的矩阵秩差值求得。二，通过演算发现$J(\lambda_i)-\lambda_i I$的矩阵秩的差值可由矩阵J的差值表示，而不需要知道具体每个超级块大小，（当然这也是因为我们无法知道J，所以无法知道每个超级块形状，否则直接就可以算超级块的矩阵秩差值）也就是结论$d_p(\lambda_i)=r_{p-1}(\lambda_i)-r_p(\lambda_i)$。三，由于我们不知道矩阵J，然而却可以根据相似，通过原始矩阵A来求得矩阵J的秩。 • ccjou 說道： 總結得很清楚，完全正確。 • ayl 說道： 可能我还是没能弄对，latex公式好像只能显示第一个，其他的不能显示，如您所说在$xxxx$的第一个$后加latex和空格，其他不变。

• ccjou 說道：

你將 \lambda 打成 \lamda 了。

4. juangamber 說道：

請問一下
有一矩陣A，J為A的jordan form
則有一可逆矩陣P使P^(-1)AP=J
而這個可逆矩陣唯一嗎
謝謝