AB 和 BA 的關係:Jordan 分塊篇

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Am\times n 階矩陣,Bn\times m 階矩陣,ABBA 擁有哪些相同的性質?我們在“AB 和 BA 有何關係?”一文曾經說明了 ABBA 有相同的非零特徵值 (包含相重數),不僅如此, ABBA 對應每個非零特徵值的 Jordan 分塊結構也相同。這是網友 GSX 於上文迴響提出的問題,本文記載的證明方法亦由他所提供。

 
在不失一般性的原則下,以下假設 m\ge n。我們先回顧 ABBA 具有相同的非零特徵值以及相重數的證明過程。考慮下面的分塊矩陣乘法:

\begin{bmatrix}    AB&0\\    B&0    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    I_m&A\\    0&I_n    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    AB&ABA\\    B&BA    \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}    I_m&A\\    0&I_n    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    0&0\\    B&BA    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    AB&ABA\\    B&BA    \end{bmatrix}

分塊矩陣 \begin{bmatrix}    I_m&A\\    0&I_n    \end{bmatrix} 的特徵值全是 1,故為可逆矩陣,就有

\begin{bmatrix}    I_m&A\\    0&I_n    \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}    AB&0\\    B&0    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    I_m&A\\    0&I_n    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    0&0\\    B&BA    \end{bmatrix}

上式表明 (m+n) 階方陣 C=\begin{bmatrix}    AB&0\\    B&0    \end{bmatrix} 相似於 D=\begin{bmatrix}    0&0\\    B&BA    \end{bmatrix},得知 CD 有相同的特徵多項式,p_C(t)=p_D(t)。因為分塊三角矩陣的特徵多項式等於主對角分塊的特徵多項式之積 (見“分塊矩陣特徵值的計算方法”),於是導出下面的結果:

p_C(t)=\begin{vmatrix}    AB-tI_m&0\\    B&-tI_n    \end{vmatrix}=(-t)^n\cdot\mathrm{det}(AB-tI_m)=(-t)^n p_{AB}(t)

p_D(t)=\begin{vmatrix}    -tI_m&0\\    B&BA-tI_n    \end{vmatrix}=(-t)^m\cdot\mathrm{det}(BA-tI_n)=(-t)^m p_{BA}(t)

也就是說,p_{AB}(t)=(-t)^{m-n}p_{BA}(t),這指出 AB 擁有 BA 的所有特徵值,此外 AB 還多了 m-n 個零特徵值。

 
對應非零特徵值,ABBA 有相同的 Jordan 分塊的證明基礎建立在兩個事實上 (見“Jordan 形式大解讀(下)”):

(1) n\times n 階矩陣 A 對應特徵值 \lambda 的超級 Jordan 分塊,即基本 Jordan 分塊直和,完全由下列矩陣秩差額決定:

d_p(\lambda)=\mathrm{rank}(A-\lambda I)^{p-1}-\mathrm{rank}(A-\lambda I)^p,~~p=1,2,\ldots

我們定義 \mathrm{rank}(A-\lambda I)^0\equiv n

(2) 相似矩陣有相同的 Jordan 形式。

 
因為 C 相似於 D,設 C=MDM^{-1},則 (C-\lambda I)=M(D-\lambda I)M^{-1},並可推得 (C-\lambda I)^p=M(D-\lambda I)^{p}M^{-1},得知 (C-\lambda I)^p 相似於 (D-\lambda I)^p。接著將 (C-\lambda I)^p 乘開:

(C-\lambda I)^p=\begin{bmatrix}    AB-\lambda I_m&0\\    B&-\lambda I_n    \end{bmatrix}^p=\begin{bmatrix}    (AB-\lambda I_m)^p&0\\    \ast&(-\lambda)^pI_n    \end{bmatrix}

\lambda\neq 0,上分塊 \begin{bmatrix}    (AB-\lambda I_m)^p&0    \end{bmatrix} 和下分塊 \begin{bmatrix}    \ast&(-\lambda)^pI_n    \end{bmatrix} 的列空間不交集,不論 \ast 為何,必有 \mathrm{rank}\begin{bmatrix}    \ast&(-\lambda)^pI_n    \end{bmatrix}=n,因此

\mathrm{rank}(C-\lambda I)^p=\mathrm{rank}(AB-\lambda I_m)^p+n

注意,我們定義 \mathrm{rank}(C-\lambda I)^{0}\equiv m+n\mathrm{rank}(AB-\lambda I_m)^0\equiv m,所以對任意 p=0,1,2,\ldots,上式皆成立。但若 \lambda=0\mathrm{rank}(C-\lambda I)^p\mathrm{rank}(AB-\lambda I_m)^p 不再有簡單的關係,原因在於分塊 \ast 的介入。

 
\lambda\neq 0 時,(m+n) 階方陣 (C-\lambda I)^p 的矩陣秩差額與 m 階方陣 (AB-\lambda I_m)^p 的矩陣秩差額完全相同:

\begin{aligned}  \mathrm{rank}(C-\lambda I)^{p-1}-\mathrm{rank}(C-\lambda I)^p&=(\mathrm{rank}(AB-\lambda I_m)^{p-1}+n)-(\mathrm{rank}(AB-\lambda I_m)^p+n)\\    &=\mathrm{rank}(AB-\lambda I_m)^{p-1}-\mathrm{rank}(AB-\lambda I_m)^p\end{aligned}

根據上述第一個性質,CAB 有相同的 Jordan 分塊結構。按同樣方式,將 (D-\lambda I)^p 乘開:

(D-\lambda I)^p=\begin{bmatrix}    -\lambda I_m&0\\    B&BA-\lambda I_n    \end{bmatrix}^p=\begin{bmatrix}    (-\lambda)^pI_m&0\\    \ast&(BA-\lambda I_n)^p    \end{bmatrix}

也可以推論當 \lambda\neq 0DBA 有相同的 Jordan 分塊結構。最後,使用性質二,由於 C 相似於 D,故 CD 必有相同的 Jordan 形式,也就證得對應非零特徵值,ABBA 的 Jordan 分塊結構是相同的。

 
下面舉一個例子說明 ABBA 對應非零特徵值的 Jordan 分塊相同。考慮

A=\left[\!\!\begin{array}{rcr}    1&1&-1\\    1&0&0\\    0&0&0\\    -1&0&1    \end{array}\!\!\right],~ B=\left[\!\!\begin{array}{cccr}    1&2&1&-2\\    3&0&0&2\\    1&2&0&1    \end{array}\!\!\right]

計算矩陣乘積得到

AB=\left[\!\!\begin{array}{ccrr}    3&0&1&-1\\    1&2&1&-2\\    0&0&0&0\\    0&0&-1&3    \end{array}\!\!\right],~ BA=\left[\!\!\begin{array}{ccr}    5&1&-3\\    1&3&-1\\    2&1&0    \end{array}\!\!\right]

矩陣 AB 的特徵值為 \{3,3,2,0\},Jordan 矩陣如下:

J_{AB}=\begin{bmatrix}    3&1&0&0\\    0&3&0&0\\    0&0&2&0\\    0&0&0&0    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    2    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    0    \end{bmatrix}

矩陣 BA 有特徵值 \{3,3,2\},Jordan 矩陣則為

J_{BA}=\begin{bmatrix}    3&1&0\\    0&3&0\\    0&0&2    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    2    \end{bmatrix}

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