## 線性世界的根基──疊加原理

$f(t_i)=y_i,~~i=0,1,\ldots,n$

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

$\begin{bmatrix} 1&t_0&t_0^2&\cdots&t_0^n\\ 1&t_1&t_1^2&\cdots&t_1^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&t_n&t_n^2&\cdots&t_n^n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{0}\\ a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}$

$p_1(x)=c(x-t_0)(x-t_2)(x-t_3)\cdots(x-t_n)$

$p_1(t_1)=c(t_1-t_0)(t_1-t_2)(t_1-t_3)\cdots(t_1-t_n)=y_1=1$

$\displaystyle p_1(x)=\frac{(x-t_0)(x-t_2)(x-t_3)\cdots(x-t_n)}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)(t_1-t_3)\cdots(t_1-t_n)}$

\begin{aligned} p_i(x)&=\displaystyle\frac{(x-t_0)\cdots(x-t_{i-1})(x-t_{i+1})\cdots(x-t_n)}{ (t_i-t_0)\cdots(t_i-t_{i-1})(t_i-t_{i+1})\cdots(t_i-t_n)}\\ &=\prod_{j\neq i}\left(\frac{x-t_j}{t_i-t_j}\right)\end{aligned}

$\displaystyle y_ip_i(x)=y_i\prod_{j\neq i}\left(\frac{x-t_j}{t_i-t_j}\right)$

\begin{aligned} f(x)&=y_0p_0(x)+y_1p_1(x)+\cdots+y_np_n(x)\\ &=\displaystyle y_0\prod_{j\neq 0}\left(\frac{x-t_j}{t_0-t_j}\right)+ y_1\prod_{j\neq 1}\left(\frac{x-t_j}{t_1-t_j}\right)+\cdots+ y_n\prod_{j\neq n}\left(\frac{x-t_j}{t_n-t_j}\right)\end{aligned}

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

$f(x)= y_0p_0(x)+y_1p_1(x)+\cdots+y_np_n(x)$

$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y^{\prime}+a_ny=0$

\begin{aligned} \displaystyle\frac{d^k}{dx^k}[cy_1]=c\frac{d^k}{dx^k}[y_1]=cy_1^{(k)}\end{aligned}

\begin{aligned} \displaystyle\frac{d^k}{dx^k}[y_1+y_2]=\frac{d^k}{dx^k}[y_1]+\frac{d^k}{dx^k}[y_2]=y_1^{(k)}+y_2^{(k)}\end{aligned}

\begin{aligned} 0&=(e^{rx})^{(n)}+a_1(e^{rx})^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(e^{rx})^{\prime}+a_n(e^{rx})\\ &=r^ne^{rx}+a_1r^{n-1}e^{rx}+\cdots+a_{n-1}re^{rx}+a_ne^{rx}\\ &=(r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_n)e^{rx}\end{aligned}

$r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_n=0$

$\{e^{r_1x},e^{r_2x},\ldots,e^{r_nx}\}$

$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+\cdots+c_ne^{r_nx}$

$c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_n\mathbf{v}_n$

George Polya, Mathematical Discovery, Volume 1, 1962.

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### 2 則回應給 線性世界的根基──疊加原理

1. vtriplev 說：

網路上的老師說過Lagrange內插多項式就是韓信點兵問題的多項式版本
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_09_1/page5.html
所以說,韓信點兵問題應該也可以說是疊加原理之祖啊

2. ccjou 說：

蔡聰明教授在該文結語中引用 Feynman 的話並改為：
數學家老是在傳授解題的技巧，而不是從數學的精神層面來啟發學生。
他最後又問：有沒有辦法既學到技巧又掌握精神呢？

我想這應該是可以實現的，不過前提是教學兩方面都很有耐性，不急著看到表面的"具體成果"。