收斂矩陣

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令 $A$ 為一 $n\times n$ 階矩陣。當 $k\rightarrow\infty$ ，若 $A^k$ 的每一個元都趨於零，亦即 $A^k\rightarrow 0$ ，我們稱 $A$ 為收斂矩陣 (convergent matrix)。若 $A$ 是可對角化矩陣， $A=S\Lambda S^{-1}$ ， $\Lambda$ 為特徵值構成的對角矩陣， $S$ 的各行為對應的特徵向量，冪矩陣 $A^k$ 可表示成 $A^k=S\Lambda^kS^{-1}$ ，其中

$\Lambda^k=\begin{bmatrix} \lambda_1^k&~&~\\ ~&\ddots&~\\ ~&~&\lambda_n^k \end{bmatrix}$ 。

若每一特徵值都滿足 $\vert\lambda_i\vert<1$ ，當 $k\rightarrow\infty$ ， $\lambda_i^k\to 0$ ，即知 $\Lambda^k\rightarrow 0$ ，也就有 $A^k=S\Lambda^kS^{-1}\rightarrow 0$ ，故 $A$ 為收斂矩陣。若 $A$ 是不可對角化矩陣，此性質仍然成立，本文介紹一個運用 Jordan 形式的證明方法。

當 $A$ 不可對角化時，考慮其 Jordan 形式， $A=MJM^{-1}$ ，其中 $J$ 為相似於 $A$ 的 Jordan 矩陣。當 $k\rightarrow\infty$ ，如果能夠證明 $J^k\rightarrow 0$ ，等於證得 $A^k=MJ^kM^{-1}\rightarrow 0$ 。Jordan 矩陣 $J$ 可以表示為所有基本 Jordan 分塊 $J_{\ast}(\lambda)$ 的直和（參見“Jordan 形式大解讀 (上)”）， $J^k$ 即為 $(J_{\ast}(\lambda))^k$ 的直和，所以我們只需要證出當 $\vert\lambda\vert<1$ ， $(J_{\ast}(\lambda))^k\rightarrow 0$ 即可。

考慮 $m\times m$ 階基本 Jordan 分塊

$\begin{aligned} J_{\ast}(\lambda)&=\begin{bmatrix} \lambda&1&~&~\\ ~&\ddots&\ddots&~\\ ~&~&\ddots&1\\ ~&~&~&\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda&~&~&~\\ ~&\ddots&~&~\\ ~&~&\ddots&~\\ ~&~&~&\lambda \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&1&~&~\\ ~&\ddots&\ddots&~\\ ~&~&\ddots&1\\ ~&~&~&0 \end{bmatrix}\\ &=\lambda I+J_{\ast}(0),\end{aligned}$

明顯地，對於所有 $k\ge m$ ， $(J_{\ast}(0))^k=0$ 。根據二項式定理，

$\displaystyle\begin{aligned} (J_{\ast}(\lambda))^k&=(\lambda I+J_{\ast}(0))^k=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}\lambda^i(J_{\ast}(0))^{k-i}\\ &=\sum_{i=k-m+1}^k\binom{k}{i}\lambda^i(J_{\ast}(0))^{k-i}\\ &=\sum_{j=0}^{m-1}\binom{k}{k-j}\lambda^{k-j}(J_{\ast}(0))^{j}\\ &=\sum_{j=0}^{m-1}\binom{k}{j}\lambda^{k-j}(J_{\ast}(0))^{j}.\end{aligned}$

若 $\vert\lambda\vert<1$ ，我們希望能證明：當 $k\rightarrow\infty$ ，對於 $j=0,1,\ldots,m-1$ ，

$\displaystyle\binom{k}{j}\lambda^{k-j}\rightarrow 0$ 。

對上式取絕對值，並分解出二項式，

$\displaystyle\left\vert\binom{k}{j}\lambda^{k-j}\right\vert=\left\vert\frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-j+1)\lambda^k}{(j!)\lambda^j}\right\vert\le\left\vert\frac{k^j\lambda^k}{(j!)\lambda^j}\right\vert$ ，

接下來只要證明若 $\vert\lambda\vert<1$ ，當 $k\rightarrow\infty$ ， $k^j\vert\lambda\vert^k\rightarrow 0$ 。忽略 $\lambda=0$ 的情況，就有 $k^j\vert\lambda\vert^k>0$ ，取對數可得

$\displaystyle\log\left(k^j\vert\lambda\vert^k \right)=j(\log k)+k(\log\vert\lambda\vert)=k\left(j\frac{\log k}{k}+\log\vert\lambda\vert\right)$ ，

其中 $\log\vert\lambda\vert<0$ 。利用 l’Hôpital 法則，

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{\log k}{k}=\lim_{k\to\infty}\frac{1/k}{1}=0$ ，

這表明當 $k\rightarrow\infty$ ， $\log\left(k^j\vert\lambda\vert^k\right)\rightarrow -\infty$ ，也就是說， $k^j\vert\lambda\vert^k\rightarrow 0$ 。

最後補充說明相反方向的陳述亦為真。當 $k\rightarrow\infty$ ，若 $A^k\rightarrow 0$ ，可斷定 $J^k=M^{-1}A^kM\rightarrow 0$ ，但是 $J^k$ 的主對角元即為 $\lambda^k$ ，故 $\lambda^k\rightarrow 0$ ，推論 $\vert\lambda\vert<1$ 。

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