收斂矩陣

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A 為一 n\times n 階矩陣。當 k\rightarrow\infty,若 A^k 的每一個元都趨於零,亦即 A^k\rightarrow 0,我們稱 A 為收斂矩陣 (convergent matrix)。若 A 是可對角化矩陣,A=S\Lambda S^{-1}\Lambda 為特徵值構成的對角矩陣,S 的各行為對應的特徵向量,冪矩陣 A^k 可表示成 A^k=S\Lambda^kS^{-1},其中

\Lambda^k=\begin{bmatrix}    \lambda_1^k&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&\lambda_n^k    \end{bmatrix}

若每一特徵值都滿足 \vert\lambda_i\vert<1,當 k\rightarrow\infty\lambda_i^k\to 0,即知 \Lambda^k\rightarrow 0,也就有 A^k=S\Lambda^kS^{-1}\rightarrow 0,故 A 為收斂矩陣。若 A 是不可對角化矩陣,此性質仍然成立,本文介紹一個運用 Jordan 形式的證明方法。

 
A 不可對角化時,考慮其 Jordan 形式,A=MJM^{-1},其中 J 為相似於 A 的 Jordan 矩陣。當 k\rightarrow\infty,如果能夠證明 J^k\rightarrow 0,等於證得 A^k=MJ^kM^{-1}\rightarrow 0。Jordan 矩陣 J 可以表示為所有基本 Jordan 分塊 J_{\ast}(\lambda) 的直和(參見“Jordan 形式大解讀 (上)”),J^k 即為 (J_{\ast}(\lambda))^k 的直和,所以我們只需要證出當 \vert\lambda\vert<1(J_{\ast}(\lambda))^k\rightarrow 0 即可。

 
考慮 m\times m 階基本 Jordan 分塊

\begin{aligned}  J_{\ast}(\lambda)&=\begin{bmatrix}    \lambda&1&~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&\lambda    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    \lambda&~&~&~\\    ~&\ddots&~&~\\    ~&~&\ddots&~\\    ~&~&~&\lambda    \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}    0&1&~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&0    \end{bmatrix}\\  &=\lambda I+J_{\ast}(0),\end{aligned}

明顯地,對於所有 k\ge m(J_{\ast}(0))^k=0。根據二項式定理,

\displaystyle\begin{aligned}  (J_{\ast}(\lambda))^k&=(\lambda I+J_{\ast}(0))^k=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}\lambda^i(J_{\ast}(0))^{k-i}\\    &=\sum_{i=k-m+1}^k\binom{k}{i}\lambda^i(J_{\ast}(0))^{k-i}\\  &=\sum_{j=0}^{m-1}\binom{k}{k-j}\lambda^{k-j}(J_{\ast}(0))^{j}\\  &=\sum_{j=0}^{m-1}\binom{k}{j}\lambda^{k-j}(J_{\ast}(0))^{j}.\end{aligned}

\vert\lambda\vert<1,我們希望能證明:當 k\rightarrow\infty,對於 j=0,1,\ldots,m-1

\displaystyle\binom{k}{j}\lambda^{k-j}\rightarrow 0

對上式取絕對值,並分解出二項式,

\displaystyle\left\vert\binom{k}{j}\lambda^{k-j}\right\vert=\left\vert\frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-j+1)\lambda^k}{(j!)\lambda^j}\right\vert\le\left\vert\frac{k^j\lambda^k}{(j!)\lambda^j}\right\vert

接下來只要證明若 \vert\lambda\vert<1,當 k\rightarrow\inftyk^j\vert\lambda\vert^k\rightarrow 0。忽略 \lambda=0 的情況,就有 k^j\vert\lambda\vert^k>0,取對數可得

\displaystyle\log\left(k^j\vert\lambda\vert^k \right)=j(\log k)+k(\log\vert\lambda\vert)=k\left(j\frac{\log k}{k}+\log\vert\lambda\vert\right)

其中 \log\vert\lambda\vert<0。利用 l’Hôpital 法則,

\displaystyle  \lim_{k\to\infty}\frac{\log k}{k}=\lim_{k\to\infty}\frac{1/k}{1}=0

這表明當 k\rightarrow\infty\log\left(k^j\vert\lambda\vert^k\right)\rightarrow -\infty,也就是說,k^j\vert\lambda\vert^k\rightarrow 0

 
最後補充說明相反方向的陳述亦為真。當 k\rightarrow\infty,若 A^k\rightarrow 0,可斷定 J^k=M^{-1}A^kM\rightarrow 0,但是 J^k 的主對角元即為 \lambda^k,故 \lambda^k\rightarrow 0,推論 \vert\lambda\vert<1

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