最小多項式 (下)

本文的閱讀等級:中級

給定一方陣 A,若多項式 p(t) 滿足 p(A)=0,我們稱 p(t)A 的消滅多項式。前文“最小多項式 (上)”說明了最小多項式 m_A(t)A 的所有消滅多項式中次數最小者。本文進一步討論最小多項式 m_A(t) 與矩陣 A 的 Jordan 形式的關係,此結果提供了由最小多項式形式判斷 A 是否為可對角化矩陣的簡便方法。(對 Jordan 典型形式陌生的讀者,建議先閱讀“Jordan 形式大解讀 (上)”。)

 
考慮 n\times n 階矩陣 A 的 Jordan 形式,A=MJM^{-1}J 為 Jordan 矩陣。兩相似矩陣有相同的特徵多項式和最小多項式。因為 A 相似於 J,得知 p_A(t)=p_J(t)m_A(t)=m_J(t)。以下我們將分析集中在形式簡約的 Jordan 矩陣上,先從最簡單的情況開始,假設 Jordan 矩陣 J 僅包含一個 n 階基本 Jordan 分塊,如下:

J=\begin{bmatrix}    \lambda&1&~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&\lambda    \end{bmatrix}

這時 J 有重複 n 次的特徵值 \lambda,特徵多項式因此為 p_J(t)=(t-\lambda)^n。注意,若 k<n(J-\lambda I)^k\neq 0,而 (J-\lambda I)^n=0。下為 n=3 的例子,

J-\lambda I=\begin{bmatrix}    0&1&0\\    0&0&1\\    0&0&0    \end{bmatrix},~ (J-\lambda I)^2=\begin{bmatrix}    0&0&1\\    0&0&0\\    0&0&0    \end{bmatrix},~ (J-\lambda I)^3=0

可知僅含單一 n 階基本 Jordan 分塊的 J 矩陣其最小多項式為 m_J(t)=(t-\lambda)^n

 
接者看 Jordan 矩陣 J 由兩個 Jordan 分塊直和構成的情況:

J=\begin{bmatrix}    J_1(\lambda)&0\\    0&J_2(\lambda)    \end{bmatrix}=J_1(\lambda)\oplus J_2(\lambda)

其中 J_1J_2 分別為 n_1 階和 n_2 階基本 Jordan 分塊,n_1+n_2=n。在不失一般性的原則下,假設 n_1\ge n_2。明顯地,J 的特徵多項式仍為 p_J(t)=(t-\lambda)^n。再來計算

(J-\lambda I)^{k}=(J_1(\lambda)-\lambda I_{n_1})^{k}\oplus (J_2(\lambda)-\lambda I_{n_2})^{k}

k<n_1(J-\lambda I)^{k}\neq 0,但 (J-\lambda I)^{n_1}=0,得知最小多項式為 m_J(t)= (t-\lambda)^{n_1}。繼續推廣至 J 包含許多基本分塊的情況,可以歸納得到 m_J(t)=(t-\lambda)^r,其中 r 等於對應特徵值 \lambda 的最大基本 Jordan 分塊階數,也稱為指標 (index)。

 
現在考慮一般 Jordan 矩陣形式,設 Jm 個相異特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_m,對應特徵值 \lambda_i 的代數重數為 \beta_i,指標為 r_ir_i\le\beta_i,也就是說,對應特徵值 \lambda_i 的基本 Jordan 分塊直和 (或稱為超級 Jordan 分塊) 的階數為 \beta_i,而最大 Jordan 分塊階數為 r_i。見下例,

J=\begin{bmatrix}    7&1&0\\    0&7&1\\    0&0&7    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    7&1\\    0&7    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    5    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix}

此 Jordan 矩陣 J 有特徵值 7,5,3,對應的代數重數分別為 5,1,4,指標為 3,1,2。欲消滅對應特徵值 \lambda_i 的 Jordan 分塊,消滅多項式要含因式 (t-\lambda_i)^kk\ge r_i,表明 Jordan 矩陣 J 的最小多項式必定有因式 (t-\lambda_i)^{r_i},亦即

m_j(t)=(t-\lambda_1)^{r_1}\cdots(t-\lambda_m)^{r_m}

因為相似矩陣擁有相同的特徵多項式和最小多項式,推論矩陣 A 的特徵多項式 p_A(t) 和最小多項式 m_A(t) 分別為

p_A(t)=(t-\lambda_1)^{\beta_1}\cdots(t-\lambda_m)^{\beta_m}

m_A(t)=(t-\lambda_1)^{r_1}\cdots(t-\lambda_m)^{r_m}

上例 A 的特徵多項式為 p_A(t)=(t-7)^5(t-5)(t-3)^4,最小多項式則為 m_A(t)=(t-7)^3(t-5)(t-3)^2

 
表面上,由矩陣 A 的 Jordan 形式 J 可得到最小多項式,但計算 Jordan 形式普遍比計算最小多項式困難。若已經知道 A 的特徵值,最小多項式可以由嘗試錯誤法得到,亦即將 A 代入多項式逐次計算檢查是否產生零矩陣。然而,上述最小多項式的表達形式仍具有理論價值:從最小多項式的形式,我們可以判定 A 是否為可對角化矩陣。若 A 有完整的 n 個線性獨立特徵向量,等價的說法為每一特徵值的幾何重數等於代數重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”),則 A 是可對角化的。這個性質在 Jordan 形式的具體表現是,每一基本 Jordan 分塊的階數都為 1,換句話說,每一特徵值 \lambda_i 的指標為 r_i=1,因此推論出下面的結果:若矩陣 A 有相異特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_m,其最小多項式為

m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_m)

亦即 m_A(t) 沒有重根,則 A 是可對角化矩陣,反向陳述亦為真。例如,I=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}J=\begin{bmatrix}  1&1\\  0&1  \end{bmatrix} 的特徵多項式同為 (t-1)^2I 的最小多項式是 t-1,而 J 的最小多項式是 (t-1)^2,故知 I 可對角化,J 不可對角化。

 
最後我們整理出幾種判斷可對角化矩陣的方式。設 n\times n 階矩陣 A 的相異特徵值為 \lambda_1,\ldots,\lambda_mm\le n,對應特徵值 \lambda_i 的代數重數為 \beta_i,指標為 r_i。矩陣 A 是可對角化的,若以下任一等價條件成立:

  1. 對於每一特徵值 \lambda_i,幾何重數都等於代數重數,即 \dim N(A-\lambda_i I)=\beta_i
  2. 對於每一特徵值 \lambda_i,對應指標皆為 r_i=1
  3. 矩陣 A 的 Jordan 形式的所有基本 Jordan 分塊階數全為 1
  4. 最小多項式為 m_A(t)= (t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_m)
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