最小多項式 (下)

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給定一方陣 ，若多項式 滿足 ，我們稱 為 的消滅多項式。前文“最小多項式 (上)”說明了最小多項式 是 的所有消滅多項式中次數最小者。本文進一步討論最小多項式 與矩陣 的 Jordan 形式的關係，此結果提供了由最小多項式形式判斷 是否為可對角化矩陣的簡便方法。(對 Jordan 典型形式陌生的讀者，建議先閱讀“Jordan 形式大解讀 (上)”。)

 
考慮 階矩陣 的 Jordan 形式，， 為 Jordan 矩陣。兩相似矩陣有相同的特徵多項式和最小多項式。因為 相似於 ，得知 ，。以下我們將分析集中在形式簡約的 Jordan 矩陣上，先從最簡單的情況開始，假設 Jordan 矩陣 僅包含一個 階基本 Jordan 分塊，如下：

這時 有重複 次的特徵值 ，特徵多項式因此為 。注意，若 ，，而 。下為 的例子，

可知僅含單一 階基本 Jordan 分塊的 矩陣其最小多項式為 。

 
接者看 Jordan 矩陣 由兩個 Jordan 分塊直和構成的情況：

其中 和 分別為 階和 階基本 Jordan 分塊，。在不失一般性的原則下，假設 。明顯地， 的特徵多項式仍為 。再來計算

若 ，，但 ，得知最小多項式為 。繼續推廣至 包含許多基本分塊的情況，可以歸納得到 ，其中 等於對應特徵值 的最大基本 Jordan 分塊階數，也稱為指標 (index)。

 
現在考慮一般 Jordan 矩陣形式，設 有 個相異特徵值 ，對應特徵值 的代數重數為 ，指標為 ，，也就是說，對應特徵值 的基本 Jordan 分塊直和 (或稱為超級 Jordan 分塊) 的階數為 ，而最大 Jordan 分塊階數為 。見下例，

此 Jordan 矩陣 有特徵值 ，對應的代數重數分別為 ，指標為 。欲消滅對應特徵值 的 Jordan 分塊，消滅多項式要含因式 ，，表明 Jordan 矩陣 的最小多項式必定有因式 ，亦即

因為相似矩陣擁有相同的特徵多項式和最小多項式，推論矩陣 的特徵多項式 和最小多項式 分別為

上例 的特徵多項式為 ，最小多項式則為 。

 
表面上，由矩陣 的 Jordan 形式 可得到最小多項式，但計算 Jordan 形式普遍比計算最小多項式困難。若已經知道 的特徵值，最小多項式可以由嘗試錯誤法得到，亦即將 代入多項式逐次計算檢查是否產生零矩陣。然而，上述最小多項式的表達形式仍具有理論價值：從最小多項式的形式，我們可以判定 是否為可對角化矩陣。若 有完整的 個線性獨立特徵向量，等價的說法為每一特徵值的幾何重數等於代數重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)，則 是可對角化的。這個性質在 Jordan 形式的具體表現是，每一基本 Jordan 分塊的階數都為 ，換句話說，每一特徵值 的指標為 ，因此推論出下面的結果：若矩陣 有相異特徵值 ，其最小多項式為

亦即 沒有重根，則 是可對角化矩陣，反向陳述亦為真。例如， 和 的特徵多項式同為 ， 的最小多項式是 ，而 的最小多項式是 ，故知 可對角化， 不可對角化。

 
最後我們整理出幾種判斷可對角化矩陣的方式。設 階矩陣 的相異特徵值為 ，，對應特徵值 的代數重數為 ，指標為 。矩陣 是可對角化的，若以下任一等價條件成立：

1. 對於每一特徵值 ，幾何重數都等於代數重數，即 。
2. 對於每一特徵值 ，對應指標皆為 。
3. 矩陣 的 Jordan 形式的所有基本 Jordan 分塊階數全為 。
4. 最小多項式為 。

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• 最小多項式的計算方法

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