左乘還是右乘,這就是問題所在

本文的閱讀等級:初級

蘇東坡遊廬山在西林寺壁題了一首膾炙人口富饒哲理的詩:

橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同,不識廬山真面目,只緣身在此山中。

如果擴大對這首詩的詮釋,它也揭示了一種有效的線性代數學習法──從不同角度觀照,才能看見更多層次的意義。我們曾經在“由簡約列梯形式判斷行空間基底”說明了一個矩陣行空間 (column space) 算法[1],此法所依循的原理是「基本列運算不改變線性獨立的行向量集合」,也稱為保秩 (rank preserving),因此從簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 即可判斷原矩陣的行空間基底。如下例,

A=\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3&\mathbf{a}_4    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    1&2&1&3\\    1&2&2&5\\    1&2&3&7    \end{bmatrix}

A 執行基本列運算可得簡約列梯形式

R=\begin{bmatrix}    1&2&0&1\\    0&0&1&2\\    0&0&0&0    \end{bmatrix}

矩陣 R 的第 13 行線性獨立,推知 \{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3\} 為一組 A 的行空間基底,但請特別注意 A 的行空間並不等於 R 的行空間:

C(A)=\hbox{span}\left\{\begin{bmatrix}  1\\  1\\  1  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  1\\  2\\  3  \end{bmatrix}\right\},~~~  C(R)=\hbox{span}\left\{\begin{bmatrix}  1\\  0\\  0  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  0\\  1\\  0  \end{bmatrix}\right\}

這個事實令人感到困惑:基本列運算是 A 的列向量的線性組合,因此不改變 A 的列空間 (row space),但是 A 的線性獨立行向量關係何以維持不變?我們的思維受「列運算」所牽絆,故難以撥雲見日看透真相。問題導引答案,如果換一個方式提問,那麼這個事實其實再明顯不過。

 
真正的原因並不在於基本列運算執行了什麼列線性組合,而是因為可逆矩陣左乘 A 矩陣。設一 Am\times n 階矩陣,令 m\times m 階矩陣 E 代表一組對應基本列運算的基本矩陣 E_i (i=1,\ldots,k) 乘積,E=E_k\cdots E_1,並令 EA=B。基本矩陣是可逆矩陣,其逆矩陣也是基本矩陣 (見“特殊矩陣 (10):基本矩陣”),我們說 A 列等價於 B,對 B 執行基本列運算也可以得到 A,算式為 E^{-1}B=A,其中 E^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}。更具體的事實是任何可逆矩陣 P 都可以表示為某些基本矩陣的乘積,因為單位矩陣 I 就是任一可逆矩陣 P 的簡約列梯形式。

 
現在我們可以擺脫列運算的思想束縛了,將問題陳述重新寫下。設 P 為任一 m\times m 階可逆矩陣,且 PA=B,將 AB 分別以行向量表示,即有

PA=P\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_n    \end{bmatrix}=B

上式可以想像為一組向量 \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n 依序經過可逆線性變換 P 後分別映射至 \mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_n,其中 \mathbf{b}_i=P\mathbf{a}_ii=1,\ldots,n。下面我們證明 AB 擁有相同的行向量線性關係。矩陣 A 的任一行向量 \mathbf{a}_j 屬於行空間 C(A),將 \mathbf{a}_j 表示成所有行向量的線性組合,\mathbf{a}_j=c_1\mathbf{a}_1+\cdots+c_n\mathbf{a}_n (此線性組合未必是唯一的)。直接計算

P\mathbf{a}_j=P(c_1\mathbf{a}_1+\cdots+c_n\mathbf{a}_n)=c_1P\mathbf{a}_1+\cdots+c_nP\mathbf{a}_n

上式等同為 \mathbf{b}_j=c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_n\mathbf{b}_n。相反方向的陳述同樣為真,若 \mathbf{b}_j=d_1\mathbf{b}_1+\cdots+d_n\mathbf{b}_n,左乘 P^{-1} 可得 \mathbf{a}_j=d_1\mathbf{a}_1+\cdots+d_n\mathbf{a}_n,也就證明了 AB 有相同的行向量線性關係。既然如此,B 的線性獨立行向量指標和 A 的線性獨立行向量指標也完全相同,我們將 A 化簡至簡約列梯形式 R 的用意即在於從 R 的外表形式很容易判讀出線性獨立行向量。

 
假使 P 不為可逆矩陣,那麼 B=PA 還能夠保留住哪些訊息?明顯地,B 仍然維持和 A 相同的行向量線性關係,但由於 P^{-1} 不存在,從 B 的行向量線性關係已不復推論出 A 的行向量線性關係。另一方面,我們也可以將上述推論過程延伸至行運算,在矩陣 A 右乘一 n\times n 階可逆矩陣 Q,令 AQ=B,運用同樣方式可證出 AB 有相同的列向量線性關係。另一個作法是對 PA=B 等號兩邊取轉置,就有 A^TP^T=B^T,利用已經得到的結果,A^T 的列向量 (即 A 的行向量) 和 B^T 的列向量 (即 B 的行向量) 有相同的線性關係。

 
原來如此,左乘或右乘可逆矩陣才是問題所在。這麼簡單的事實為何總令許多讀者感到困惑?答案就在蘇東坡的詩句中,「橫看成嶺側成峰」。當基本列運算施行於 A 矩陣時,我們交換列、伸縮列或者取代列,線性組合 A 的列,很自然地會將 A 的「列」當作所處理的主要數學物件。若換一個角度來看,我們把基本矩陣 E 視為一可逆線性變換,這時矩陣 A 的「行」向量才是主角,EA 可解釋為 A 的行向量經線性變換 E 所得到的像,如此也就不會受表面的列運算所惑了。

 
註解:
[1] 在台灣,橫向稱為列,縱向稱為行。在中國大陸,橫向稱為行,縱向稱為列。

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5 則回應給 左乘還是右乘,這就是問題所在

  1. VtripleV 說:

    今天去買了三人本的elementary linear algebra
    PA=R, R為最簡列階梯式
    書上也用老師上面的論證,來證明A經過列運算之後的最簡列階梯式為唯1
    ,因為最簡列階梯式,就是反映A的行向量組合關係

  2. vtriplev 說:

    基本矩陣為可逆矩陣,https://ccjou.wordpress.com/2011/01/10/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9F%A9%E9%99%A3%E7%9A%84%E5%B9%BE%E4%BD%95%E6%84%8F%E7%BE%A9/
    今天看某本書寫著這些基本矩陣的幾何含意
    E1是Reflection matrix ,E1=I-2uu’
    E2是單獨對某1分量伸縮
    E3是切變(shear)

  3. ccjou 說:

    沒錯,基本矩陣的幾何意義的確如你寫的。基本矩陣還有更有趣的應用,就是拿來做相似變換。給定同尺寸相似方陣 AB,再不知道 Jordan form 的情況下,找出一組基本矩陣使得
    B=(E_1\cdots E_k)^{-1}A(E_1\cdots E_k)

    到目前為止,我還沒有完全找出有效的設計法則,常常為了消滅某個元,就要經過數次嘗試錯誤才達成目的,有點像在玩「數獨」。

    大家要不要幫忙想一想?這也是一種益智遊戲。

  4. 訪客 說:

    這題應該也可以當isomorphism的舉例說明.

  5. ccjou 說:

    你指的是 B=E^{-1}AE 嗎?如果將 E=E_1\cdots E_k 的行向量視為基底向量,那麼 A=[B]_E 就是 B 參考此基底的矩陣表示,變換 A 確實和 B 同構。

    請盡量留下暱稱,「訪客」容易被系統誤判為垃圾。

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