線性變換把面積伸縮了

本文的閱讀等級:初級

考慮這個從 \mathbb{R}^2 映射至 \mathbb{R}^2 的線性變換

T(x,y)=\begin{bmatrix}    4x-2y\\    2x+3y    \end{bmatrix}

設圓區域 S=\{(x,y)\vert (x-1)^2+(y+2)^2\le 9\},且 T(S) 代表 S 中所有點經 T 映射後的集合,求 T(S) 的面積 (取自成大電通所2007年電磁數學試題)。假使我們使用解析幾何方法計算 T(S),過程非但冗長,繁雜的數值運算也易出錯,不如轉而尋找其他方法。表面上看起來很困難的問題,也許有個簡單的解題方式。如果讀者瞭解此題的重點在於線性變換 T 的具體作為而非集合 S 的幾何形狀,那麼不用數秒便可得到答案。下文即以此例解說究竟線性變換如何改變映射集合的面積。

 
禮記學記:「善問者如攻堅木,先其易者,後其節目。」同樣地,吃柿子要挑軟的,解問題也應從簡單的下手。這個問題能夠加以簡化嗎?是否可以考慮同性質但較容易解決的問題?不妨將圓形區域替換為單位正方形,令 S_1=\{(x,y)\vert 0\le x,y\le 1\}。單位正方形可直接用兩邊 \mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}    1\\    0    \end{bmatrix}\mathbf{e}_2=\begin{bmatrix}    0\\    1    \end{bmatrix} 表示,亦即

S_1=\left\{x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2\vert 0\le x,y\le 1\right\}

這個表達式引領我們從線性代數觀點來看待幾何問題。設 A 為線性變換 T 參考標準基底的表示矩陣,就有 T(\mathbf{v})=A\mathbf{v},其中 A=\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2    \end{bmatrix},上例中,A=\left[\!\!\begin{array}{cr}    4&-2\\    2&3    \end{array}\!\!\right]。算出 x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2T 映射的像 (image),如下:

\begin{aligned}  T(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)&=A(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)=xA\mathbf{e}_1+yA\mathbf{e}_2=x\mathbf{a}_1+y\mathbf{a}_2\end{aligned}

也就有

T(S_1)=\left\{x\mathbf{a}_1+y\mathbf{a}_2\vert 0\le x,y\le 1\right\}

這指出 T(S_1) 其實就是 A 的行向量 \mathbf{a}_1\mathbf{a}_2 所張的平行四邊形。二階方陣 A 的行列式絕對值即為 \mathbf{a}_1\mathbf{a}_2 所張的平行四邊形面積,故 \upsilon(T(S_1))=\vert\det{A}\vert,為簡化記號,我們以 \upsilon (T(S_1)) 表示 T(S_1) 的面積。

 
單位正方形可以推廣至更一般的情況嗎?考慮 S_2 為二維實向量 \mathbf{b}_1\mathbf{b}_2 所張的平行四邊形,以同樣方式可得

\begin{aligned}  T(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2)&=A(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2)=xA\mathbf{b}_1+yA\mathbf{b}_2\end{aligned}

因此 T(S_2) 為向量 A\mathbf{b}_1A\mathbf{b}_2 所張的平行四邊形。設 B=\begin{bmatrix}    \mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2    \end{bmatrix}T(S_2) 等於矩陣乘積 AB=\begin{bmatrix}    A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2    \end{bmatrix} 的兩行所張的平行四邊形,利用行列式乘積可乘公式,

\begin{aligned}  \upsilon(T(S_2))&=\vert\det(AB)\vert=\vert\det{A}\vert\cdot\vert\det{B}\vert\end{aligned}

但是 \vert\det{B}\vert 就等於平行四邊形 S_2 的面積,推知

\upsilon(T(S_2))=\vert\det{A}\vert\cdot \upsilon(S_2)

這個結果表明平行四邊形 S_2 經線性變換 T (參考標準基底的矩陣表示為 A),面積伸縮了 \vert\det{A}\vert 倍。

 
如果平行四邊形 S_2 在平面上平移,前述結果依然成立嗎?考慮

S_3=\left\{x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p}\vert 0\le x, y\le 1\right\}

其中 \mathbf{p} 代表平移向量。計算 S_3 各點經映射後的像:

\begin{aligned}  T(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p})&=A(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p})\\  &=xA\mathbf{b}_1+yA\mathbf{b}_2+A\mathbf{p}.\end{aligned}

由此斷定 T(S_3)=T(S_2)+A\mathbf{p},平移量 A\mathbf{p} 並不會改變面積大小,故仍然有 \upsilon(T(S_3))=\vert\det{A}\vert\cdot\upsilon(S_3)

 
回到本文初給定的例子,S 為圓心 (1,-2),半徑 3 的圓形區域。利用積分方法,我們將 S 切割成許多小方塊:S\approx\sum_{i}\delta S_i,其中 \delta S_i 代表平移至 \mathbf{p}_i,邊長為 \delta x 的小正方形,圓形區域的像 T(S) 則為 T(S)\approx T\left(\sum_i\delta S_i\right)=\sum_{i}T(\delta S_i)。明顯地,

\begin{aligned}  \displaystyle\upsilon(S)&\approx\upsilon\left(\sum_i\delta S_i\right)=\sum_i\upsilon(\delta S_i)\end{aligned}

而且

\begin{aligned}  \displaystyle\upsilon(T(S))&\approx\upsilon\left(\sum_iT(\delta S_i)\right)=\sum_i\upsilon\left(T(\delta S_i)\right)\end{aligned}

因為每個小方塊滿足 \upsilon(T(\delta S_i))=\vert\det{A}\vert\cdot\upsilon(\delta S_i),推論 \upsilon(T(S))\approx\vert\det{A}\vert\cdot\upsilon(S)。當 \delta x\rightarrow 0,上式等號成立。事實上,上述推導過程對於任意封閉集合 S 都成立,故導出一般式:

\upsilon(T(S))=\vert\det{A}\vert\cdot\upsilon(S)

換句話說,線性變換 T,亦即矩陣變換 A,把集合 S 的面積伸縮了 \vert\det{A}\vert 倍。將上例數值代入計算,可得 T(S) 的面積為 \upsilon(T(S))=16\cdot 9\pi=144\pi

 
最後我們再補充一個例子。考慮線性變換 T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,定義如下:

T(x,y)=\begin{bmatrix}    2x+3y\\    x-y\\    2y    \end{bmatrix}

S=\{(x,y)\vert x^2+y^2\le 9\},問 T(S) 的面積是多少? (取自成大電通所2007年通信數學試題) 先將 T(x,y) 表示為矩陣乘法:

T(x,y)=\left[\!\!\begin{array}{cr}    2&3\\    1&-1\\    0&2    \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}    x\\    y    \end{bmatrix}

由前文的推演過程可知 T(S) 的面積等於 S 的面積乘以 A=\left[\!\!\begin{array}{cr}    2&3\\    1&-1\\    0&2    \end{array}\!\!\right] 的兩行所張的平行四邊形面積。設 \mathbf{u}_1=\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}    2\\    1\\    0    \end{bmatrix} 為底,由 Gram-Schmidt 正交化程序計算平行四邊形的高所對應的向量:

\begin{aligned}  \mathbf{u}_2&=\displaystyle\mathbf{a}_2-\frac{\mathbf{a}_2^T\mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1^T\mathbf{a}_1}\mathbf{a}_1=\left[\!\!\begin{array}{r}    3\\    -1\\    2    \end{array}\!\!\right]-\frac{5}{5}\begin{bmatrix}    2\\    1\\    0    \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{r}    1\\    -2\\    2    \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

向量 \mathbf{a}_1\mathbf{a}_2 所夾的平行四邊形面積為 \Vert\mathbf{u}_1\Vert\cdot\Vert\mathbf{u}_2\Vert=3\sqrt{5},故 T(S) 的面積為 v(T(S))=3\sqrt{5}\cdot 9\pi=27\sqrt{5}\pi。另外,A 矩陣的兩個行向量所張的平行四邊形面積也可以表示為 \sqrt{\det(A^TA)} (參見“行列式的幾何意義”),於是歸納出下面這個一般公式:若 A 為線性變換 T 的表示矩陣,集合 ST 映射至 T(S),面積關係如下:

\upsilon(T(S))=\sqrt{\det(A^TA)}\cdot\upsilon(S)

A 為方陣,則

\begin{aligned}  \sqrt{\det(A^TA)}&=\sqrt{(\det{A}^T)(\det{A})}=\vert\det{A}\vert\end{aligned}

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5 則回應給 線性變換把面積伸縮了

  1. 路人甲 說道:

    您好。最後例題部分T的矩陣表示式第三列第二行是2不是1。

  2. Jason 說道:

    老師,請問最後的公式中,A矩陣是不是一定要為n*2的矩陣,這樣才可以用「平行四邊形面積」的概念推廣?還是說,(例如)2*3的矩陣也適用以上的情形?

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