## 線性變換把面積伸縮了

$T\left(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 4x-2y\\ 2x+3y \end{bmatrix}$

$S_1=\{x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2\vert 0\le x\le 1, 0\le y\le 1\}$

\begin{aligned} T(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)&=A(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)=xA\mathbf{e}_1+yA\mathbf{e}_2=x\mathbf{a}_1+y\mathbf{a}_2\end{aligned}

$T(S_1)=\{x\mathbf{a}_1+y\mathbf{a}_2\vert 0\le x\le 1, 0\le y\le 1\}$

\begin{aligned} T(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2)&=A(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2)=xA\mathbf{b}_1+yA\mathbf{b}_2\end{aligned}

\begin{aligned} \upsilon(T(S_2))&=\vert\det(AB)\vert=\vert\det{A}\vert\cdot\vert\det{B}\vert\end{aligned}

$\upsilon(T(S_2))=\vert\det{A}\vert\cdot \upsilon(S_2)$

$S_3=\{x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p}\vert 0\le x\le 1, 0\le y\le 1\}$

\begin{aligned} T(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p})&=A(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p})\\ &=xA\mathbf{b}_1+yA\mathbf{b}_2+A\mathbf{p}\end{aligned}

\begin{aligned} \displaystyle\upsilon(S)&\approx\upsilon\left(\sum_i\delta S_i\right)=\sum_i\upsilon(\delta S_i)\end{aligned}

\begin{aligned} \displaystyle\upsilon(T(S))&\approx\upsilon\left(\sum_iT(\delta S_i)\right)=\sum_i\upsilon\left(T(\delta S_i)\right)\end{aligned}

$\upsilon(T(S))=\vert\det{A}\vert\cdot\upsilon(S)$

$T\left(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+3y\\ x-y\\ 2y \end{bmatrix}$

$S=\{(x,y)\vert x^2+y^2\le 9\}$，問 $T(S)$ 的面積為何？ (取自成大電通所2007年通信數學試題) 先將 $T(x,y)$ 表示為矩陣乘法：

$T\left(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\right)=\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&3\\ 1&-1\\ 0&2 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

\begin{aligned} \mathbf{u}_2&=\displaystyle\mathbf{a}_2-\frac{\mathbf{a}_2^T\mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1^T\mathbf{a}_1}\mathbf{a}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 3\\ -1\\ 2 \end{array}\!\!\right]-\frac{5}{5}\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 2 \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

$\upsilon(T(S))=\sqrt{\det(A^TA)}\cdot\upsilon(S)$

$A$ 為方陣，則

\begin{aligned} \sqrt{\det(A^TA)}&=\sqrt{(\det{A}^T)(\det{A})}=\vert\det{A}\vert\end{aligned}

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### 2 則回應給 線性變換把面積伸縮了

1. 路人甲 說：

您好。最後例題部分T的矩陣表示式第三列第二行是2不是1。

• ccjou 說：

非常感謝你的指正。