多項式的相伴矩陣

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給定一 n\times n 階矩陣 A,最小多項式 m_A(t) 為最小次數的首一 (最高次項的係數為 1) 消滅多項式,m_A(A)=0 (見“最小多項式(上)”),顯然,m_A(t) 的次數不大於 n;相反的,針對任一個首一多項式

p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1t+a_0

我們也可以問:是否存在一方陣其最小多項式為 p(t)?這個問題的答案稱作相伴矩陣 (companion matrix),如下:

C=\begin{bmatrix}    0&0&\cdots&0&-a_0\\    1&0&\cdots&0&-a_1\\    \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\    0&\cdots&1&0&-a_{n-2}\\    0&0&\cdots&1&-a_{n-1}    \end{bmatrix}

下面證明首一多項式 p(t) 同時為其相伴矩陣 C 的特徵多項式和最小多項式。

 
我們先證明 p(t) 確實是 C 的消滅多項式,即 p(C)=0。令 \mathbf{e}_j 代表標準單位向量,第 j 元等於 1,其餘元等於 0。最直接的方法是證明 p(C)\mathbf{e}_j=\mathbf{0}j=1,\ldots,n,故 p(C) 的零空間維數等於 n,也就是說,\mathrm{rank}(p(C))=0 (另一個推導相伴矩陣特徵多項式的作法請見“每週問題 January 18, 2010”)。運用相伴矩陣 C 的結構性質,可得

\begin{aligned}  C^{0}\mathbf{e}_1&=I\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_1\\    C\mathbf{e}_1&=\mathbf{e}_2\\    C^2\mathbf{e}_1&=C\mathbf{e}_2=\mathbf{e}_3\\    C^3\mathbf{e}_1&=C\mathbf{e}_3=\mathbf{e}_4\\    &\vdots\\    C^{n-1}\mathbf{e}_1&=C\mathbf{e}_{n-1}=\mathbf{e}_n\\    C^n\mathbf{e}_1&=C\mathbf{e}_n=-a_0\mathbf{e}_1-a_1\mathbf{e}_2-\cdots-a_{n-1}\mathbf{e}_n.\end{aligned}

利用關係式 \mathbf{e}_j=C^{j-1}\mathbf{e}_1,最末式可寫成

C^n\mathbf{e}_1=-a_{n-1}C^{n-1}\mathbf{e}_1-\cdots-a_1C\mathbf{e}_1-a_0I\mathbf{e}_1=(C^n-p(C))\mathbf{e}_1

得知 p(C)\mathbf{e}_1=\mathbf{0}。對於所有 j=1,\ldots,n,可以推論

p(C)\mathbf{e}_j=p(C)C^{j-1}\mathbf{e}_1=C^{j-1}p(C)\mathbf{e}_1=C^{j-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}

 
接著我們證明 p(t) 是相伴矩陣 C 的最小多項式。使用反證法,假設存在首一多項式 q(t)=t^m+b_{m-1}t^{m-1}+\cdots+b_1t+b_0m<n,使得 q(C)=0,則 q(C)\mathbf{e}_1=0\mathbf{e}_1=\mathbf{0},而且

\begin{aligned}  q(C)\mathbf{e}_1&=C^m\mathbf{e}_1+b_{m-1}C^{m-1}\mathbf{e}_1+\cdots+b_1C\mathbf{e}_1+b_0\mathbf{e}_1\\    &=\mathbf{e}_{m+1}+b_{m-1}\mathbf{e}_m+\cdots+b_1\mathbf{e}_2+b_0\mathbf{e}_1\end{aligned}

迫使 \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_m,\mathbf{e}_{m+1}\} 為線性相關向量集,然而所有 \mathbf{e}_j\in\mathbb{C}^n,這個情況不可能發生,故 p(t) 即為其相伴矩陣 C 的最小多項式。因為方陣 C 的特徵多項式為一個 n 次消滅多項式,已知 p(t)C 的唯一最小多項式,也就證得 p(t) 也是 C 的特徵多項式。

 
給定任一 n 階方陣 A,其特徵多項式為 p_A(t),我們可以得到 p_A(t) 的相伴矩陣 C。若 A 相似於 C,由於相似矩陣有相同的最小多項式,推知 A 的最小多項式 m_A(t) 必定等於 C 的最小多項式 m_C(t)=p_A(t)。反過來說,如果 m_A(t)=p_A(t),也可以斷定 A 相似於 p_A(t) 的相伴矩陣 C。證明於下,設 JA 的 Jordan 矩陣,A 有相異特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_m,對應 \lambda_j 的相重數為 \beta_j,最大的 Jordan 分塊階數 (指標) 為 r_j,最小多項式和特徵多項式分別為 (見“最小多項式(下)”)

m_A(t)=(t-\lambda_1)^{r_1}\cdots(t-\lambda_m)^{r_m}

p_A(t)=(t-\lambda_1)^{\beta_1}\cdots(t-\lambda_m)^{\beta_m}

m_A(t)=p_A(t),對於任一 j=1,\ldots,m,就有 r_j=\beta_j,可知對應每一特徵值 \lambda_j 的基本 Jordan 分塊數皆等於 1,此唯一的 Jordan 分塊階數即相重數 \beta_j。由於相伴矩陣 C 的最小多項式和特徵多項式亦為 m_A(t)=p_A(t),故 CA 擁有相同的 Jordan 形式,推知 C 相似於 A

 
本文參考:
R. A. Horn 和 C. R. Johnson 的 Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.

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