利用循環子空間計算特徵多項式

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\mathcal{V} 為一向量空間且 T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為一線性變換 (或稱線性算子)。線性變換 T 將子空間 \mathcal{X}\subseteq\mathcal{V} 映射至另一子空間 T(\mathcal{X})=\{T(\mathbf{x})\vert\mathbf{x}\in\mathcal{X}\}。子空間 T(\mathcal{X})\mathcal{X} 未必存在甚麼關係,但如果 T(\mathcal{X})\subseteq\mathcal{X},我們稱 \mathcal{X}T 的一個不變子空間 (invariant subspace),也就是說,對於任意 \mathbf{x}\in\mathcal{X},必定有 T(\mathbf{x})\in\mathcal{X}。我們可以將線性變換 T 限定於子空間 \mathcal{X} 上,於是有了限定算子 (restriction) 的概念,以符號表示為 T_{/\mathcal{X}}:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}。不變子空間的最主要價值在於化簡線性變換表示矩陣 (見“從不變子空間切入特徵值問題”),本文介紹一個產生不變子空間的簡易方式,稱為循環子空間 (cyclic subspace),並解說如何利用循環子空間計算矩陣特徵多項式。

 
我們先檢視一些常見的不變子空間。對於線性變換 T:\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V},明顯地,向量空間 \mathcal{V} 本身和零向量空間 \mathcal{O}=\{\mathbf{0}\} 是兩個平凡的不變子空間;不難驗證 T 的值域 \text{ran}(T)=\{T(\mathbf{x})\vert\mathbf{x}\in\mathcal{V}\} 以及核 (即零空間) \ker(T)=\{\mathbf{x}\in\mathcal{V}\vert T(\mathbf{x})=\mathbf{0}\} 也是 T 的不變子空間。上述不變子空間若不是太「大」就是太「小」,最有用的不變子空間是對應 T 的特徵值 \lambda 的特徵空間。若 \mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}\} 為一不變子空間,就有 T(\mathbf{x})\in\mathcal{X},即存在一純量 \lambda 使得 T(\mathbf{x})=\lambda\mathbf{x},所以任一特徵向量都擴張出維數等於 1 的不變子空間。由於不變子空間的主要作用在於簡化特徵多項式的計算工作,我們勢必要尋求其他不涉及解特徵空間的不變子空間製造法。

 
\mathbf{x} 為一非零向量,下列子空間稱為向量 \mathbf{x} 在線性變換 T 下生成的循環子空間:

\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{x},T(\mathbf{x}),T^2(\mathbf{x}),\ldots\}

上式中,若 \mathcal{X}=\mathcal{V},則 \mathbf{x} 稱為循環向量 (cyclic vector)。設 k 為最小正整數使 \boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}=\{\mathbf{x},T(\mathbf{x}),\ldots,T^{k-1}(\mathbf{x})\} 為線性獨立集,因此存在 a_0,a_1,\ldots,a_{k-1} 滿足

a_0\mathbf{x}+a_1T(\mathbf{x})+\cdots+a_{k-1}T^{k-1}(\mathbf{x})+T^k(\mathbf{x})=\mathbf{0}

上式連續左乘 T 即可確認對於任何 m\ge kT^m(\mathbf{x}) 都可以寫成 \mathbf{x},T(\mathbf{x}),\ldots,T^{k-1}(\mathbf{x}) 的線性組合,故 \boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}} 為循環子空間 \mathcal{X} 的一組基底。設 \mathbf{w}\in\mathcal{X}\mathbf{w} 可唯一表示為 \mathbf{w}=c_0\mathbf{x}+c_1T(\mathbf{x})+\cdots+c_{k-1}T^{k-1}(\mathbf{x}),因為 T^k(\mathbf{x})\in\mathcal{X},得知

T(\mathbf{w})=c_0T(\mathbf{x})+c_1T^2(\mathbf{x})+\cdots+c_{k-1}T^k(\mathbf{x})\in\mathcal{X}

所以 \mathcal{X}T 的一不變子空間。合併各基底向量 T^{j}(\mathbf{x})j=0,1,\ldots,k-1,經過 T 的映射結果,可得限定算子 T_{/\mathcal{X}} 參考有序基底 \boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}} 的表示矩陣

\begin{bmatrix}    T_{/\mathcal{X}}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}}=\begin{bmatrix}    0&0&\cdots&0&-a_0\\    1&0&\cdots&0&-a_1\\    \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\    0&\cdots&1&0&-a_{k-2}\\    0&0&\cdots&1&-a_{k-1}    \end{bmatrix}

限定算子表示矩陣為多項式 p(t)=t^k+a_{k-1}t^{k-1}+\cdots+a_1t+a_0 的相伴矩陣 (見“多項式的相伴矩陣”),換句話說,p(t) 即為限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的特徵多項式。令 \dim\mathcal{V}=n。若線性變換 T 存在一循環向量 \mathbf{x},則 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{x},T(\mathbf{x}),\ldots,T^{n-1}(\mathbf{x})\}\mathcal{V} 的一組基底,T 參考 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣 \begin{bmatrix}T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 即為一個 n\times n 階相伴矩陣。因此,T 參考任何基底的表示矩陣皆相似於一個相伴矩陣。

 
下面用一個例子說明如何利用循環子空間簡化特徵多項式的計算。考慮 4\times 4 階矩陣[1]

A=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}    3&-1&-6&1\\    -1&3&4&-1\\    1&-1&-2&1\\    -1&1&4&1    \end{array}\!\!\right]

隨便挑選一個向量作為循環子空間的「種子」。設 \mathbf{x}=\mathbf{e}_1,依序得出

\mathbf{x}=\begin{bmatrix}    1\\    0\\    0\\    0    \end{bmatrix},~A\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r}    3\\    -1\\    1\\    -1    \end{array}\!\!\right],~A^2\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r}    3\\    -1\\    1\\    -1    \end{array}\!\!\right]

因為 A^2\mathbf{x} 可寫成 \mathbf{x}A\mathbf{x} 的線性組合,\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}=\{\mathbf{x},A\mathbf{x}\} 為循環子空間 \mathcal{X} 的基底,由關係式 0\mathbf{x}-A\mathbf{x}+A^2\mathbf{x}=\mathbf{0} 可推得限定算子 A_{/\mathcal{X}} 參考 \boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}} 的表示矩陣:

\begin{bmatrix}    A_{/\mathcal{X}}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}}=\begin{bmatrix}    0&0\\    1&1    \end{bmatrix}

下一步將不變子空間基底 \boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}} 擴充為 \mathbb{C}^4 的基底。運用 Steinitz 替換原則 (見“基底與維數常見問答集”),設增廣矩陣 \begin{bmatrix}    \mathbf{x}&A\mathbf{x}&\mathbf{e}_2&\mathbf{e}_3&\mathbf{e}_4    \end{bmatrix} (已知 \mathbf{x}=\mathbf{e}_1,故不需考慮 \mathbf{e}_1),對此矩陣執行消去化簡直到得出梯形矩陣為止,過程如下:

\begin{aligned}  \left[\!\!\begin{array}{crccc}    1&3&0&0&0\\    0&-1&1&0&0\\    0&1&0&1&0\\    0&-1&0&0&1    \end{array}\!\!\right]&\to\left[\!\!\begin{array}{crrcc}    1&3&0&0&0\\    0&-1&1&0&0\\    0&0&1&1&0\\    0&0&-1&0&1    \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{crccc}    1&3&0&0&0\\    0&-1&1&0&0\\    0&0&1&1&0\\    0&0&0&1&1    \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

梯形矩陣的軸行為 1,2,3,4 行,故 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{x},A\mathbf{x},\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} 可為 \mathbb{C}^4 的一組基底。計算 A\mathbf{e}_2A\mathbf{e}_3,並將結果表示成 \boldsymbol{\beta} 基底向量的線性組合:

\begin{aligned}A\mathbf{e}_2&=\left[\!\!\begin{array}{r}    -1\\    3\\    -1\\    1    \end{array}\!\!\right]=2\mathbf{x}-(A\mathbf{x})+2\mathbf{e}_2+0\mathbf{e}_3\\    A\mathbf{e}_3&=\left[\!\!\begin{array}{r}    -6\\    4\\    -2\\    4    \end{array}\!\!\right]=6\mathbf{x}-4(A\mathbf{x})+0\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_3.\end{aligned}

合併以上結果即導出 A 參考有序基底 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣:

\begin{bmatrix}    A    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\left[\!\!\begin{array}{ccrr}    0&0&2&6\\    1&1&-1&-4\\    0&0&2&0\\    0&0&0&2    \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix}    B&C\\    0&D    \end{bmatrix}

其中 B=[A_{/\mathcal{X}}]_{\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}}。因為 A 相似於 \begin{bmatrix}    A    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}},兩相似矩陣有相同的特徵多項式,A 矩陣的特徵多項式可表示為主對角分塊 BD 的特徵多項式乘積 (參見“分塊矩陣特徵值的計算方法”):

p_A(t)=p_{B}(t)p_{D}(t)=\begin{vmatrix}    0-t&0\\    1&1-t    \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}    2-t&0\\    0&2-t    \end{vmatrix}=t(t-1)(t-2)^2

 
最後補充一例說明循環子空間於理論推導的應用 (此題由網友 levinc 於交流園地提出)。考慮下列 n\times n 階反對角 (anti-diagonal) 矩陣

A=\begin{bmatrix}    ~&~&~&~&a_1\\    ~&~&~&a_2&~\\    ~&~&\vdots&~&~\\    ~&a_{n-1}&~&~&~\\    a_{n}&~&~&~&~    \end{bmatrix}

欲證明對於所有 j=1,\ldots,n,若 a_j=0,必有 a_{n+1-j}=0,則 A 是可對角化矩陣,反向陳述亦真。此題重心在於「對角化」,因此我們構想建立一組合用的新基底 \boldsymbol{\beta},使得 A 參考 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣具有主對角分塊型態。運用循環子空間以產生不變子空間,選擇種子 \mathbf{e}_1,就有對應的循環子空間:

\mathcal{X}_1=\mathrm{span}\{\mathbf{e}_1,A\mathbf{e}_1=a_{n}\mathbf{e}_n,A^2\mathbf{e}_1=A(a_n\mathbf{e}_n)=a_1a_n\mathbf{e}_1,\ldots\}

得知 \mathcal{X}_1 的基底為 \boldsymbol{\beta}_1=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_n\}。同樣道理,對應種子 \mathbf{e}_2 的循環子空間 \mathcal{X}_2

\mathcal{X}_2=\mathrm{span}\{\mathbf{e}_2,A\mathbf{e}_2=a_{n-1}\mathbf{e}_{n-1},A^2\mathbf{e}_2=A(a_{n-1}\mathbf{e}_{n-1})=a_2a_{n-1}\mathbf{e}_2,\ldots\}

\mathcal{X}_2 由基底 \boldsymbol{\beta}_2=\{\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_{n-1}\} 擴張而成。重複上述程序可產生 k=\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil 個循環子空間 \mathcal{X}_jj=1,\ldots,k,各自基底為 \boldsymbol{\beta}_j=\{\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_{n+1-j}\}。寫出 A 參考有序基底 \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}_1\cup\cdots\cup\boldsymbol{\beta}_k 的表示矩陣:

\begin{bmatrix}    A    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    0&a_1&~&~&~\\    a_n&0&~&~&~\\    ~&\ddots&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&~&0&a_{k}\\    ~&~&~&a_{n+1-k}&0    \end{bmatrix}

其中限定算子 A_{/\mathcal{X}_j} 參考 \boldsymbol{\beta}_j 的表示矩陣為 \begin{bmatrix}    A_{/\mathfrak{X}_j}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_j}=\begin{bmatrix}    0&a_j\\    a_{n+1-j}&0    \end{bmatrix}。觀察出若 a_j\neq 0a_{n+1-j}=0,則 \begin{bmatrix}    A_{/\mathfrak{X}_j}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_j} 相似於 Jordan 分塊 J=\begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix};又若 a_j=0a_{n+1-j}\neq 0,則 \begin{bmatrix}    A_{/\mathfrak{X}_j}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_j} 相似於 J^T,也就相似於 J (轉置仍維持相似性,見“矩陣與其轉置的相似性”),證得 A 不為可對角化矩陣。

 
引用來源:
[1] 取自 W. A. Mcworter, Jr. and L. F. Meyers, Computing eigenvalues and eigenvectors without determinants, Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 1, 1998, pp 24-33.

延伸閱讀:
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2 Responses to 利用循環子空間計算特徵多項式

  1. levinc 說道:

    這篇觀點太棒了,我喜歡! :)
    期待老師下回寫寫從linear map看回不變子空間、循環子空間啦之類的問題。
    雖然我只是個初學者,也許是個性始然,我總覺得學習這些思考性的問題比計算來的有趣多了呢(反正現在軟体/程式這麼方便XD)

  2. ccjou 說道:

    Cyclic subspaces 是線性代數比較理論的內容,跟 rational canonical form 有關,今天大概只有數學系用書才會介紹它,改天再詳述好了。

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