不變子空間──解構線性算子的利器

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T 是一個從向量空間 \mathcal{V} 映至向量空間 \mathcal{W} 的線性變換。若 \mathcal{V}=\mathcal{W},我們稱 T 為定義於向量空間 \mathcal{V} 的線性算子 (linear operator)。數學家發展出一個研究線性算子的方法,他們想像向量空間 \mathcal{V} 可以分割成一組不交集的子空間 \mathcal{X}_1,\ldots,\mathcal{X}_m,精確地說,\mathcal{V} 為這些不交集子空間的直和 (direct sum,見“補子空間與直和”):

\mathcal{V}=\mathcal{X}_1\oplus\cdots\oplus\mathcal{X}_m

對於任一 \mathbf{v}\in\mathcal{V},僅有唯一的 \mathbf{x}_j\in\mathcal{X}_jj=1,\ldots,m,能夠組合出 \mathbf{v}=\mathbf{x}_1+\cdots+\mathbf{x}_m。為簡約符號,我們以 T\mathbf{v} 代表向量 \mathbf{v} 經過 T 映射後得到的像 T(\mathbf{v})。利用線性變換的基本性質,可得

T\mathbf{v}=T(\mathbf{x}_1+\cdots+\mathbf{x}_m)=T\mathbf{x}_1+\cdots+T\mathbf{x}_m

上式提示我們一個探索線性算子 T 的途徑:只要分別探討 T 在各個子空間 \mathcal{X}_j 的行為即可對 T 的行為獲得完整的認識。實際的操作方式是令線性算子 T 限定於子空間 \mathcal{X}_j 上,稱為限定算子 (restriction),記為 T_{/\mathcal{X}_j}:\mathcal{X}_j\rightarrow\mathcal{X}_j。限定算子成立的前提是任一 \mathbf{x}\in\mathcal{X}_j,都有 T\mathbf{x}\in\mathcal{X}_j,即 T(\mathcal{X}_j)\subseteq\mathcal{X}_j,滿足此性質的子空間 \mathcal{X}_j 稱為 T 的不變子空間 (invariant subspace)。不變子空間是認識線性算子結構的一個有效工具,運用不變子空間的概念與分析技巧可以推導出一些重要的線性算子典型表示矩陣。下面我們先介紹幾個常用的不變子空間。

 
例一:設 T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 是一個線性算子。明顯地,向量空間 \mathcal{V} 自身和零向量空間 \mathcal{O}=\{\mathbf{0}\}T 的不變子空間。線性算子 T 的值域 (range) \hbox{ran}(T)=\{T\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathcal{V}\} 與核 (kernel,或稱零空間) \ker(T)=\{\mathbf{x}\vert T\mathbf{x}=\mathbf{0}\} 也是 T 的不變子空間。證明如下。若 \mathbf{x}\in \hbox{ran}(T),根據值域的定義,T\mathbf{x}\in \hbox{ran}(T)。若 \mathbf{x}\in \ker(T),就有 T\mathbf{x}=\mathbf{0},任何一個子空間都包含零向量,所以 T\mathbf{x}\in\ker(T)

 
例二:設 TL 為定義於向量空間 \mathcal{V} 的線性算子並滿足交換律 (稱為可交換),TL=LT,則值域 \hbox{ran}(L) 與核 \ker(L)T 的不變子空間。證明如下。若 \mathbf{x}\in \hbox{ran}(L),即存在 \mathbf{y}\in\mathcal{V} 使得 \mathbf{x}=L\mathbf{y},則 T\mathbf{x}=TL\mathbf{y}=LT\mathbf{y},推得 T\mathbf{x}\in \hbox{ran}(L)。若 \mathbf{x}\in \ker(L),即 L\mathbf{x}=\mathbf{0},就有 LT\mathbf{x}=TL\mathbf{x}=T\mathbf{0}=\mathbf{0},故 T\mathbf{x}\in \ker(L)

 
例三:令 \lambda 為線性算子 T:\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V} 的一個特徵值,則 \hbox{ran}(T-\lambda I)\ker(T-\lambda I)T 的不變子空間。因為 T(T-\lambda I)=T^2-\lambda T=(T-\lambda I)T,可知 T-\lambda IT 可交換,由例二的命題即證得所求。我們獲知一個非常重要的結果:對應特徵值 \lambda 的特徵空間 \ker(T-\lambda I) 是線性算子 T 的一不變子空間。推廣至 k=1,\ldots,n,不難驗證 T(T-\lambda I)^k=(T-\lambda I)^kT,同樣由例二立知 \hbox{ran}(T-\lambda I)^k\ker(T-\lambda I)^k 也是 T 的不變子空間。若 \mathbf{x}\neq\mathbf{0} 使得 (T-\lambda I)^k\mathbf{x}=\mathbf{0},滿足此式的最小正整數 k 稱為對應 \lambda 的指標 (index),\mathbf{x} 稱為廣義特徵向量,所以對應特徵值 \lambda 的廣義特徵空間 \ker(T-\lambda I)^k 亦為 T 的不變子空間。

 
例四:設非零向量 \mathbf{v}\in\mathcal{V},向量 \mathbf{v} 在線性算子 T 下生成的循環子空間 (cyclic subspace)

\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{v},T\mathbf{v},T^2\mathbf{v},\ldots\}

T 的一個不變子空間。證明如下。令 k 為最小正整數使得 \{\mathbf{v},T\mathbf{v},\ldots,T^{k-1}\mathbf{v}\} 為線性獨立集,也就有數組 c_0,c_1,\ldots,c_{k-1} 使得

T^k\mathbf{v}=c_0\mathbf{v}+c_1T\mathbf{v}+\cdots+c_{k-1}T^{k-1}\mathbf{v}

對於 m>k,將上式連續左乘 T 即歸納出 T^m\mathbf{v} 皆可表示為 \mathbf{v},T\mathbf{v},\ldots,T^{k-1}\mathbf{v} 的線性組合,證得 T(\mathcal{X})=\hbox{span}\{T\mathbf{v},T^2\mathbf{v},T^3\mathbf{v},\ldots\}\subseteq\mathcal{X}

 
不變子空間最重要的應用在於化簡線性算子的表示矩陣,所謂「化簡」在此是指製造一些零元。設 \mathrm{dim}\mathcal{V}=n,且 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\mathcal{V} 的一組有序基底,各基底的像 T\mathbf{v}_j 可唯一表示為基底向量的線性組合:

T\mathbf{v}_j=a_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+a_{nj}\mathbf{v}_n,~~ j=1,\ldots,n

線性算子 T 參考 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣即為

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    ~&~&~\\    [T\mathbf{v}_1]_{\boldsymbol{\beta}}&\cdots&[T\mathbf{v}_n]_{\boldsymbol{\beta}}\\    ~&~&~    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    a_{11}&\cdots&a_{1n}\\    \vdots&\ddots&\vdots\\    a_{n1}&\cdots&a_{nn}    \end{bmatrix}

假設有序基底 \boldsymbol{\beta} 的前 m<n 個向量 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m 擴張出 T 的一個不變子空間 \mathcal{X},則有 T\mathbf{v}_j\in\mathcal{X}j=1,\ldots,m。因此,

T\mathbf{v}_j=a_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+a_{mj}\mathbf{v}_m

上式說明若 i>mj\le m,則 a_{ij}=0,故 \begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 具有下列分塊上三角形式:

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    a_{11}&\cdots&a_{1m}&a_{1,m+1}&\cdots&a_{1n}\\    \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    a_{m1}&\cdots&a_{mm}&a_{m,m+1}&\cdots&a_{mn}\\    0&\cdots&0&a_{m+1,m+1}&\cdots&a_{m+1,n}\\    \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    0&\cdots&0&a_{n,m+1}&\cdots&a_{nn}    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    B&C\\    0&D    \end{bmatrix}

其中分塊 B 即為限定算子 T_{/\mathcal{X}} 參考 \boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m\} 的表示矩陣 \begin{bmatrix}    T_{/\mathcal{X}}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}}。如果其餘 n-m 個基底向量 \mathbf{v}_{m+1},\mathbf{v}_{m+2},\ldots,\mathbf{v}_n 也擴張出另一個不變子空間 \mathcal{Y},令 \boldsymbol{\beta}_{\mathcal{Y}}=\{\mathbf{v}_{m+1},\mathbf{v}_{m+2},\ldots,\mathbf{v}_n\},對於 j=m+1,m+2,\ldots,n,即有

T\mathbf{v}_j=a_{m+1,j}\mathbf{v}_{m+1}+a_{m+2,j}\mathbf{v}_{m+2}+\cdots+a_{nj}\mathbf{v}_n

得知 a_{ij}=0,若 i\le mj>m。換句話說,如果 \mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y}\mathcal{X}\mathcal{Y} 皆為線性算子 T 的不變子空間,則 T 參考 \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}\cup\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{Y}} 的表示矩陣具有分塊主對角形式,如下:

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    a_{11}&\cdots&a_{1m}&0&\cdots&0\\    \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    a_{m1}&\cdots&a_{mm}&0&\cdots&0\\    0&\cdots&0&a_{m+1,m+1}&\cdots&a_{m+1,n}\\    \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    0&\cdots&0&a_{n,m+1}&\cdots&a_{nn}    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    [T_{/\mathcal{X}}]_{\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{X}}}&0\\    0&[T_{/\mathcal{Y}}]_{\boldsymbol{\beta}_{\mathcal{Y}}}    \end{bmatrix}

 
從以上討論可以歸納出兩個主要結論。第一,若向量空間 \mathcal{V} 為一組不變子空間的直和,\mathcal{V}=\mathcal{X}_1\oplus\cdots\oplus\mathcal{X}_m,設 \boldsymbol{\beta}_j 為子空間 \mathcal{X}_j 的基底,則 T 參考 \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}_{1}\cup\cdots\cup\boldsymbol{\beta}_{m} 的表示矩陣即為所有限定算子表示矩陣 \begin{bmatrix}    T_{/\mathcal{X}_j}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_j} 的直和:

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    [T_{/\mathcal{X}_1}]_{\boldsymbol{\beta}_{1}}&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&[T_{/\mathcal{X}_m}]_{\boldsymbol{\beta}_{m}}    \end{bmatrix}=[T_{/\mathcal{X}_1}]_{\boldsymbol{\beta}_{1}}\oplus\cdots\oplus[T_{/\mathcal{X}_m}]_{\boldsymbol{\beta}_{m}}

第二,不變子空間 \mathcal{X}_j 其基底向量之間的關係決定了限定算子表示矩陣 \begin{bmatrix}    T_{/\mathcal{X}_j}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_j} 的型態。下面我們介紹運用線性算子的不變子空間分析所推導出的幾種典型 (或稱標準) 表示矩陣。

 
對角化

設線性算子 T 定義於向量空間 \mathcal{V}\mathrm{dim}\mathcal{V}=n\lambda_1,\ldots,\lambda_nT 的特徵值 (包含相重特徵值)。由例三得知特徵空間 \ker(T-\lambda_j I)T 的一個不變子空間。若存在線性獨立特徵向量 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 使得

\begin{aligned}  T\mathbf{x}_1&=\lambda_1\mathbf{x}_1\\  T\mathbf{x}_2&=\lambda_2\mathbf{x}_2\\  &\vdots\\    T\mathbf{x}_n&=\lambda_n\mathbf{x}_n,\end{aligned}

\mathrm{span}\{\mathbf{x}_j\}j=1,\ldots,n,是彼此不交集的 T 的不變子空間,向量空間 \mathcal{V} 可分解為

\mathcal{V}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1\}\oplus\cdots\oplus \mathrm{span}\{\mathbf{x}_n\}

線性算子 T 參考基底 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 的表示矩陣具有最簡約的主對角形式:

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    \lambda_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&\lambda_n    \end{bmatrix}

在此情況下,我們稱 T 可對角化。

 
上三角化

任意線性算子 T 未必可以被對角化,但是向量空間 \mathcal{V} 必定存在一基底 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 使得

\begin{aligned}  T\mathbf{v}_1&=a_{11}\mathbf{v}_1\\    T\mathbf{v}_2&=a_{12}\mathbf{v}_1+a_{22}\mathbf{v}_2\\    &\vdots\\    T\mathbf{v}_n&=a_{1n}\mathbf{v}_1+a_{2n}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{nn}\mathbf{v}_n.\end{aligned}

以上基底向量之間的關係也可以表示為

\begin{aligned}  T\mathbf{v}_1&\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1\}\\    T\mathbf{v}_2&\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}\\    &\vdots\\    T\mathbf{v}_n&\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\},\end{aligned}

亦即對於 j=1,\ldots,n\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_j\} 皆為線性算子 T 的不變子空間,換句話說,T 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣具有上三角形式:

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\    0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    0&0&\cdots&a_{nn}    \end{bmatrix}

下面我們運用歸納法證明。若 \mathrm{dim}\mathcal{V}=1,原命題顯然成立。若 \mathrm{dim}\mathcal{V}=n>1,假設上述命題對於任何維數小於 n 的向量空間皆成立。令 \lambda 為線性算子 T 的一個特徵值,並令 \mathcal{X}=\hbox{ran}(T-\lambda I)\dim\mathcal{X}=m。因為 \mathcal{X}T 的一不變子空間,T_{/\mathcal{X}} 是一個限定算子。由於 \dim \ker(T-\lambda I)>0,秩—零度定理給出 m=\dim\mathcal{X}=\dim\mathcal{V}-\dim \ker(T-\lambda I)<n。根據假設,T_{/\mathcal{X}} 參考基底 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m\} 的表示矩陣為上三角矩陣,即對於 j=1,\ldots,m

T\mathbf{v}_j=(T_{/\mathcal{X}})(\mathbf{v}_j)\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_j\}

將子空間 \mathcal{X} 的基底 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m\} 擴充成 \mathcal{V} 的基底 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_{n-m}\},則對於每一 \mathbf{u}_i

T\mathbf{u}_i=(T-\lambda I)\mathbf{u}_i+\lambda\mathbf{u}_i

因為 (T-\lambda I)\mathbf{u}_i\in\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m\},推得

\begin{aligned}  T\mathbf{u}_1&\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_1\}\\    T\mathbf{u}_2&\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_2\}\subset\hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}\\    &\vdots\\    T\mathbf{u}_{n-m}&\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_{n-m}\}\subset\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_{n-m}\},\end{aligned}

證明 T 參考基底 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_{n-m}\} 的表示矩陣為上三角矩陣。

 
Jordan 典型形式

\mathrm{dim}\mathcal{V}=n,針對一定義於向量空間 \mathcal{V} 的線性算子 T,若 \mathcal{V} 無法分解為特徵空間 \ker(T-\lambda_i I) 直和,則 T 不可被對角化。不過,設 \lambda_1,\ldots,\lambda_m 代表 T 的相異特徵值,向量空間 \mathcal{V} 總是可以分解為 (證明見“拒絕行列式的特徵分析”)

\mathcal{V}=\ker(T-\lambda_1 I)^n\oplus\cdots\oplus \ker(T-\lambda_m I)^n

例三說明 \ker(T-\lambda_j I)^nT 的一個不變子空間,其維數即為對應特徵值 \lambda_j 的相重數 \beta_j\sum_{j=1}^m\beta_j=n。我們可以在 \mathcal{X}_j=\ker(T-\lambda_j I)^n 中找出 \beta_j 個廣義特徵向量組成基底 \boldsymbol{\beta}_j=\{\mathbf{x}_{j1},\mathbf{x}_{j2},\ldots,\mathbf{x}_{j\beta_j}\},限定算子 T_{/\mathcal{X}_j} 參考 \boldsymbol{\beta}_j 的表示矩陣稱作超級 Jordan 分塊 J(\lambda_j) (相關討論見“Jordan 形式大解讀(上)”),而 T 參考 \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}_1\cup\cdots\cup\boldsymbol{\beta}_m 的表示矩陣就是所謂的 Jordan 形式:

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=J=\begin{bmatrix}    J(\lambda_1)&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&J(\lambda_m)    \end{bmatrix}

 
有理標準形式

例四說明任一非零種子向量 \mathbf{v} 在線性算子 T 下產生的循環子空間 \mathcal{X}_\mathbf{v}=\mathrm{span}\{\mathbf{v},T\mathbf{v},T^2\mathbf{v},\ldots\} 為一不變子空間。若 \boldsymbol{\beta}_{\mathbf{v}}=\{\mathbf{v},T\mathbf{v},\ldots,T^{k-1}\mathbf{v}\}\mathcal{X}_\mathbf{v} 的一基底,而且

a_0\mathbf{v}+a_1T\mathbf{v}+\cdots+a_{k-1}T^{k-1}\mathbf{v}+T^k\mathbf{v}=\mathbf{0}

不難確認限定算子 T_{/\mathcal{X}_\mathbf{v}} 參考 \boldsymbol{\beta}_{\mathbf{v}} 的表示矩陣即為多項式 p(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_{k-1}t^{k-1} 的相伴矩陣 (詳細推導請參閱“利用循環子空間計算特徵多項式”):

\begin{bmatrix}    T_{/\mathcal{X}_\mathbf{v}}    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{v}}}=C=\begin{bmatrix}    0&0&\cdots&0&-a_0\\    1&0&\cdots&0&-a_1\\    0&1&\cdots&0&-a_2\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\    0&0&\cdots&1&-a_{k-1}    \end{bmatrix}

循環分解定理 (線性代數理論中最艱深的定理之一) 說:必定存在一組非零種子向量 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m 使得 \mathcal{V} 可分解為這些種子向量生成的循環子空間直和

\mathcal{V}=\mathcal{X}_{1}\oplus\cdots\oplus \mathcal{X}_m

並滿足下列性質:循環子空間 \mathcal{X}_j 有基底 \boldsymbol{\beta}_j=\{\mathbf{v}_j,T\mathbf{v}_j,\ldots,T^{k_j-1}\mathbf{v}_j\}\sum_{j=1}^mk_j=n,而 T 參考基底 \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}_1\cup\cdots\cup\boldsymbol{\beta}_m 的表示矩陣即為所有相伴矩陣的直和:

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    C_1&~&~\\    ~&\ddots&~\\    ~&~&C_m    \end{bmatrix}

其中 C_jk_j\times k_j 階相伴矩陣,且 C_j 的最小多項式 (見“最小多項式(上)”),也稱為 T 的不變因子 (invariant factor),整除 C_{j+1} 的最小多項式,j=1,\ldots,m-1。上式稱為線性算子 T 的有理標準形式 (rational canonical form)。

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12 則回應給 不變子空間──解構線性算子的利器

  1. GSX 說:

    我想起上次我問矩陣直和為什麼也叫直和

    看了這一篇我覺得矩陣"直和"象徵的是背後的不變子空間的直和吧~(亂猜XD)

  2. ccjou 說:

    之前我也一直以為一般子空間直和與矩陣直和沒有什麼關聯,寫好此文才驚覺原來不變子空間直和與表示矩陣直和之間存在著清楚的對應關係。

  3. 好似筆誤,例二最後一行:
    TLx=L(Tx)=0
    (Tx)為L的零空間

    • ccjou 說:

      \mathbf{x}\in N(L),即 L\mathbf{x}=\mathbf{0},就有 LT\mathbf{x}=TL\mathbf{x}=T\mathbf{0}=\mathbf{0},故 T\mathbf{x}\in N(L)

      是這句嗎?怎麼我看不出哪邊有錯。T\mathbf{x} 屬於 L 的零空間,並不是等於 L 的零空間。

  4. 我搞懂了,老師書寫的是正確的順續及表答含意。

  5. ayl 說:

    老师,您好。上三角形化的归纳证明最后一些不太明白: T\mathbf{u}_i=(T-\lambda I)\mathbf{u}_i+\lambda\mathbf{u}_i,因为(T-\lambda I)\mathbf{u}_i\in\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m\} ,推得 T\mathbf{u}_1\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_1\}。 但是如何推出T\mathbf{u}_2\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\},而我只能觉得是T\mathbf{u}_2\in\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m,\mathbf{u}_2\}呢?

  6. ayl 說:

    在线性算子 T 的有理标准形陈述中,为何会有C_j 的最小多项式整除C_{j+1} 的最小多项式?此处不甚了解,还望老师您解惑.

    • ccjou 說:

      這是循環分解定理的部分內容,此定理的證明很費工夫。這裡提出有理標準形的目的是在彰顯不變子空間的應用而已。有理標準形的理論應用遠不如Jordan形式,所以我沒有在本站介紹過。如果你想了解有理標準形,可查詢早期出版的線性代數課本。

  7. kiryu 說:

    昨晚上看复旦姚先生的教材就是从线性变换—子空间—-特征空间这个线索开始讲的 感觉一下子比本科时候的理解清楚了 当一个子空间是‘封闭’的时候那么这个变换其体现在那组特定基上的变换矩阵也会出现封闭的效果(感觉上就是只有那个空间的几个特定维度的item不等于0)(完全凭自己感觉讲的不好意思) 极端状况下如果有变换的Rank那么多个子空间且每个封闭的话那么1维指向一维的变换就自然是数乘 也就是Xb=a*b 了(b是vector a是scaler X是变化在特定base下的matrix)看到那里就觉得豁然开朗
    最近想补习矩阵这方面的东西 偶然发现这个BLOG 觉得每一篇都简练而且线索清楚 是很好的材料 非常感谢  これからも ぜひ頑張ってください!

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