利用循環子空間證明 Cayley-Hamilton 定理

本文的閱讀等級:中級

在“利用循環子空間計算特徵多項式”一文,我們介紹了循環子空間的基本知識,並運用它來化簡線性算子特徵多項式的計算程序。本文將探討如何利用循環子空間證明 Cayley-Hamilton 定理:設 T 為定義於有限維向量空間 \mathcal{V} 的線性算子,p(t) 為其特徵多項式,則 p(T)=0,其中 0 代表零變換。

 
下面整理出循環子空間的幾個重要事實。考慮定義於向量空間 \mathcal{V} 的線性算子 T,對於任意非零向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V},下列子空間稱為向量 \mathbf{x} 在線性算子 T 下生成的循環子空間:

\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{x},T\mathbf{x},T^2\mathbf{x},\ldots\}

我們以 T\mathbf{x} 表示 \mathbf{x} 經線性算子 T 的映射結果 T(\mathbf{x})。若 k 為最小正整數使 \mathfrak{B}_{\mathcal{X}}=\{\mathbf{x},T\mathbf{x},\ldots,T^{k-1}\mathbf{x}\} 為線性獨立集,下列性質成立:

  1. \mathrm{dim}\mathcal{X}=k\mathfrak{B}_{\mathcal{X}}\mathcal{X} 的基底。
  2. 循環子空間 \mathcal{X}T 的不變子空間,即 T(\mathcal{X})\subseteq\mathcal{X},故 T_{/\mathcal{X}}:\mathcal{X}\to\mathcal{X} 為一定義良好的限定算子。
  3. 存在 a_0,a_1,\ldots,a_{k-1} 滿足

    a_0\mathbf{x}+a_1T\mathbf{x}+\cdots+a_{k-1}T^{k-1}\mathbf{x}+T^k\mathbf{x}=\mathbf{0}

    限定算子 T_{/\mathcal{X}} 參考 \mathfrak{B}_{\mathcal{X}}k\times k 階表示矩陣如下:

    \begin{bmatrix}    T_{/\mathcal{X}}    \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{X}}}=\begin{bmatrix}    0&0&\cdots&0&-a_0\\    1&0&\cdots&0&-a_1\\    \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\    0&\cdots&1&0&-a_{k-2}\\    0&0&\cdots&1&-a_{k-1}    \end{bmatrix}

  4. 限定算子表示矩陣 \begin{bmatrix}    T_{/\mathcal{X}}    \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{X}}} 的特徵多項式為

    p_{T_{/\mathcal{X}}}(t)=t^k+a_{k-1}t^{k-1}+\cdots+a_1t+a_0

 
我們將設法證明對於任意 \mathbf{x}\in\mathcal{V}p(T)\mathbf{x}=\mathbf{0},這表示 p(T) 的零空間 N(p(T)) 充滿整個向量空間 \mathcal{V},由秩—零度定理可推得 \mathrm{rank}p(T)=\mathrm{dim}\mathcal{V}-\mathrm{dim}N(p(T))=0,故 p(T)=0。若 \mathbf{x}=\mathbf{0},明顯地,p(T)\mathbf{x}=\mathbf{0},以下考慮 \mathbf{x}\neq\mathbf{0}。令 \mathcal{X} 代表由非零向量 \mathbf{x} 在線性算子 T 下生成的循環子空間且 \mathrm{dim}\mathcal{X}=k,向量集 \mathfrak{B}_{\mathcal{X}}=\{\mathbf{x},T\mathbf{x},\ldots,T^{k-1}\mathbf{x}\} 為循環子空間 \mathcal{X} 的基底。將 \mathfrak{B}_{\mathcal{X}}k 個基底向量擴充為向量空間 \mathcal{V} 的基底:

\mathfrak{B}=\{\mathbf{x},T\mathbf{x},\ldots,T^{k-1}\mathbf{x},\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_{n-k}\}

由於 \mathcal{X} 為一不變子空間,T 參考 \mathfrak{B} 的表示矩陣具有分塊上三角形式 (詳細推導見“不變子空間──解構線性算子的利器”):

\begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}=\begin{bmatrix}    B&C\\    0&D    \end{bmatrix}

其中分塊 B 即為限定算子表示矩陣 \begin{bmatrix}    T_{/\mathcal{X}}    \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{X}}}。線性算子 T 的特徵多項式,也就是分塊上三角矩陣 \begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}} 的特徵多項式 p(t) 即為主對角分塊 BD 的特徵多項式乘積:

\begin{aligned}  p(t)&=p_B(t)p_D(t)=p_D(t)p_B(t)\end{aligned}

前述性質 (4) 給出 p_B(t)=p_{T_{/\mathcal{X}}}(t)=t^k+a_{k-1}t^{k-1}+\cdots+a_1t+a_0,由性質 (3) 並得知

\begin{aligned}  p_B(T)\mathbf{x}&=T^k\mathbf{x}+a_{k-1}T^{k-1}\mathbf{x}+\cdots+a_1T\mathbf{x}+a_0\mathbf{x}=\mathbf{0}\end{aligned}

證得

\begin{aligned}  p(T)\mathbf{x}&=p_D(T)p_B(T)\mathbf{x}=p_D(T)\mathbf{0}=\mathbf{0}\end{aligned}

 
對於 Cayley-Hamilton 定理的其他證明方式有興趣的讀者,請參閱“Cayley-Hamilton 定理”和“Cayley-Hamilton 定理的一個代數證明方法”。

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