每週問題 January 31, 2011

當分塊矩陣的分塊位置改變時,矩陣秩不變的條件為何?

Pow-Jan-31-11

參考解答

PowSol-Jan-31-11

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4 Responses to 每週問題 January 31, 2011

  1. levinc 說道:

    直接分塊矩陣硬幹不知道行不行喔,還請老師開示
    rk
    (\begin{bmatrix}&space;O&space;&I&space;\\&space;I&space;&&space;-A&space;\end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}&space;A&space;&O&space;\\&space;I&space;&&space;B&space;\end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}&space;I&space;&-B&space;\\&space;O&space;&&space;I&space;\end{bmatrix})=
    rk\begin{bmatrix}&space;I&space;&O&space;\\&space;O&space;&&space;-AB&space;\end{bmatrix}= n + rk(AB)\geq rkA +rkB. (由秩-零度定理),及
    rk
    (\begin{bmatrix}&space;O&space;&I&space;\\&space;I&space;&&space;-AB^{-1}&space;\end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}&space;A&space;&O&space;\\&space;B&space;&&space;I&space;\end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}&space;I&space;&-B^{-1}I&space;\\&space;O&space;&&space;I&space;\end{bmatrix})
    =
    rk(\begin{bmatrix}&space;B&space;&O&space;\\&space;O&space;&&space;-AB^{-1}&space;\end{bmatrix})=rkB + rk(AB^{-1}).

    所以咧,rkB + rk(AB^{-1}) = n + rk(AB)\geq rkA +rkB ,
    rkB + rk(AB^{-1}) = \geq rkA +rkB iff rk(AB{-1})=rkA, which provides that rk(A)=rk(AB^{-1}B) = rk(AB). Done.

  2. levinc 說道:

    我的媽呀,亂七八糟 老師抱歉><
    rk (\begin{bmatrix}&space;O&space;&I&space;\\&space;I&space;&&space;-A&space;\end{bmatrix} \begin{bmatrix}&space;A&space;&O&space;\\&space;I&space;&&space;B&space;\end{bmatrix} \begin{bmatrix}&space;I&space;&-B&space;\\&space;O&space;&&space;I&space;\end{bmatrix})= rk\begin{bmatrix}&space;I&space;&O&space;\\&space;O&space;&&space;-AB&space;\end{bmatrix}= n + rk(AB)\geq rkA +rkB. (由秩-零度定理),及
    rk (\begin{bmatrix}&space;O&space;&I&space;\\&space;I&space;&&space;-AB^{-1}&space;\end{bmatrix} \begin{bmatrix}&space;A&space;&O&space;\\&space;B&space;&&space;I&space;\end{bmatrix} \begin{bmatrix}&space;I&space;&-B^{-1}I&space;\\&space;O&space;&&space;I&space;\end{bmatrix}) = rk(\begin{bmatrix}&space;B&space;&O&space;\\&space;O&space;&&space;-AB^{-1}&space;\end{bmatrix})=rkB + rk(AB^{-1}).

    所以咧,rk(B)+rk(AB^{-1}) = n + rk(AB) \geq rkA + rkB, 故
    rkB + rk(AB^{-1}) = rkA + rkB iff rk(AB^{-1}) = rkA, which provides that rkA = rk(AB^{-1}B) = rk(AB). Done.

  3. levinc 說道:

    呃…蠢斃了….XDD
    總之,中間那堆顯示不出來的部分就是在拆解分塊矩陣,
    rk(左分塊)變成 rkB + rk(AB^{-1}), rk(右分塊)= n + rk(AB),
    由已知,左右分塊秩相等,再用秩-零度定理,……然後接上面回嚮。

  4. ccjou 說道:

    如果 B 不是可逆矩陣…
    可以試試先將分塊行列對調位置成容易判斷的形式,例如
    \mathrm{rk}\begin{bmatrix} A&0\\ B&I \end{bmatrix}=\mathrm{rk}\begin{bmatrix} O&A\\ I&B \end{bmatrix}=\mathrm{rk}\begin{bmatrix} I&B\\ 0&A \end{bmatrix}=\mathrm{rk}I+\mathrm{rk}A=n+\mathrm{rk}A

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