## Kronecker 積

$A=[a_{ij}]$ 為一 $m\times n$ 階矩陣，$B$ 為一 $p\times q$ 階矩陣。Kronecker 積 $A\otimes B$ (也稱為張量積，tensor product) 為 $mp\times nq$ 階矩陣，定義如下：

$A\otimes B=\begin{bmatrix} a_{11}B&a_{12}B&\cdots&a_{1n}B\\ a_{21}B&a_{22}B&\cdots&a_{2n}B\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots&a_{mn}B\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2\\ 2&4\\ 3&6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4\\ 5&6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&0&0\\ 3&4&0&0\\ 5&6&0&0\\ 0&0&1&2\\ 0&0&3&4\\ 0&0&5&6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4\\ 5&6 \end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&2&0\\ 0&1&0&2\\ 3&0&4&0\\ 0&3&0&4\\ 5&0&6&0\\ 0&5&0&6 \end{bmatrix}$

$\text{vec}(X)=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1\\ \mathbf{x}_2\\ \vdots\\ \mathbf{x}_{n} \end{bmatrix}$

$(B^T\otimes A)\mathrm{vec}(X)=\mathrm{vec}(C)$

$B=[b_{ij}]$$n\times p$ 階，將上式展開並引用矩陣行向量，可得

$(B^T\otimes A)\mathrm{vec}(X)=\begin{bmatrix} b_{11}A&\cdots&b_{n1}A\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{1p}A&\cdots&b_{np}A \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1\\ \vdots\\ \mathbf{x}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{c}_1\\ \vdots\\ \mathbf{c}_p \end{bmatrix}$

$b_{1j}A\mathbf{x}_1+\cdots+b_{nj}A\mathbf{x}_n=\begin{bmatrix} A\mathbf{x}_1&\cdots&A\mathbf{x}_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{1j}\\ \vdots\\ b_{nj} \end{bmatrix}=AX\mathbf{b}_j=\mathbf{c}_j$

(a1) $A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C$

(a2) $(A\otimes B)^k=A^k\otimes B^k$

(a3) $A\otimes(B+C)=(A\otimes B)+(A\otimes C)$

(a4) $(A+B)\otimes C=(A\otimes C)+(B\otimes C)$

(a5) $(kA)\otimes B=A\otimes(kB)=k(A\otimes B)$

(a6) $(A\otimes B)^{\ast}=A^{\ast}\otimes B^{\ast}$

$AC$$BD$ 可乘，則

$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)$

$\begin{bmatrix} a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}B&\cdots&a_{mn}B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{11}D&\cdots&c_{1p}D\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ c_{n1}D&\cdots&c_{np}D \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} E_{11}&\cdots&E_{1p}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ E_{m1}&\cdots&E_{mp} \end{bmatrix}$

$\displaystyle E_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}Bc_{kj}D=\left(\sum_{k=1}^na_{ik}c_{kj}\right)BD =(AC)_{ij}(BD)=((AC)\otimes(BD))_{ij}$

$E=(AC)\otimes(BD)$

$A$$B$ 分別為 $m$ 階和 $n$ 階方陣，以下性質可由混和乘積性質導出。

(b1) $(A\otimes I_n)(I_m\otimes B)=A\otimes B=(I_m\otimes B)(A\otimes I_n)$

$(A\otimes I_n)(I_m\otimes B)=(AI_m)\otimes(I_nB)=A\otimes B$

$(I_m\otimes B)(A\otimes I_n)=(I_mA)\otimes(BI_n)=A\otimes B$

(b2) 若 $A$$B$ 為可逆矩陣，$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$

$(A\otimes B)(A^{-1}\otimes B^{-1})=(AA^{-1})\otimes(BB^{-1})=I_m\otimes I_n=I$

(b3) 若 $A$$B$ 為么正矩陣（unitary matrix），$A^{\ast}=A^{-1}$$B^{\ast}=B^{-1}$，則 $(A\otimes B)^{\ast}=(A\otimes B)^{-1}$

$(A\otimes B)^{\ast}=A^{\ast}\otimes B^{\ast}=A^{-1}\otimes B^{-1}=(A\otimes B)^{-1}$

$A$$m$ 階方陣，$B$$n$ 階方陣，且

$A\mathbf{x}_i=\lambda_i\mathbf{x}_i,~~i=1,\ldots,m$

$B\mathbf{y}_j=\mu_j\mathbf{y}_j,~~j=1,\ldots,n$

$(A\otimes B)(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)=\lambda_i\mu_j(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)$

$(A\otimes I_n+I_m\otimes B)(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)=(\lambda_i+\mu_j)(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)$

$(A\otimes B)(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)=(A\mathbf{x}_i)\otimes(B\mathbf{y}_j)=(\lambda_i\mathbf{x}_i)\otimes(\mu_j\mathbf{y}_j)=(\lambda_i\mu_j)(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)$

$(A\otimes I_n)(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)=\lambda_i(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)$

$(I_m\otimes B)(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)=\mu_j(\mathbf{x}_i\otimes\mathbf{y}_j)$

$\displaystyle \mathrm{trace}(A\otimes B)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\lambda_i\mu_j=\left(\sum_{i=1}^m\lambda_i\right)\left(\sum_{j=1}^n\mu_j\right) =\mathrm{trace}A\cdot\mathrm{trace}B$

$\displaystyle \det(A\otimes B)=\prod_{\substack{1\le i\le m\\1\le j\le n}}\lambda_i\mu_j=\left(\prod_{i=1}^m\lambda_i\right)^n\left(\prod_{j=1}^n\mu_j\right)^m=(\det A)^n(\det B)^m$

$A\otimes B=( U\Sigma V^{\ast})\otimes(XSY^{\ast})=(U\otimes X)(\Sigma\otimes S)(V\otimes Y)^{\ast}$

$\mathrm{rank}(A\otimes B)=\mathrm{rank}A\cdot\mathrm{rank}B$

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### 2 則回應給 Kronecker 積

1. wayne 說：

老師好
再算(A Kronecker B)反矩陣的時候 上文有提到是寫成A^-1 Kronecker B^-1
不知道除了這種形式表示以外 還有沒有其他表示方法 或 求反矩陣的方法
譬如說 A 和 B 都是2×2 A Kronecker B 會變成4×4
可以分成4塊看 可能左上角的2×2是右下角2×2的幾倍 右上角的2X2是左下角2×2的幾倍
因為之間有一些關係 所以有新的算法

我只是好奇不知道有沒有其他算法 謝謝

• ccjou 說：

這我不清楚，你不妨自己研究一下。