基於矩陣秩的實對稱矩陣可對角化證明

本文的閱讀等級:高級

實對稱矩陣可正交對角化 (orthogonally diagonalizable),詳細討論請參閱“實對稱矩陣可正交對角化的證明”和“特殊矩陣(2):正規矩陣”,這篇短文僅證明部分命題:實對稱矩陣可對角化。

 
首先回顧方陣可對角化的充要條件 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”):對於每一特徵值,其代數重數等於幾何重數。設 An\times n 階矩陣,A^T=A,令 \lambda 為任一特徵值,代數重數為 k,幾何重數即特徵空間維數 \mathrm{dim}N(A-\lambda I)。令 B=A-\lambda I,根據秩—零度定理 \mathrm{rank}B=n-\mathrm{dim}N(B),若能證明 \mathrm{rank}B=n-k,即證得 A 可對角化。

 
實對稱矩陣的所有特徵值皆為實數,故 \lambda\in\mathbb{R}B 亦為實對稱矩陣。設 \mathrm{rank}B=r,因為特徵空間必含非零向量,\mathrm{dim}N(B)=\mathrm{dim}N(A-\lambda I)\ge 1,故 r<nB 為不可逆矩陣。接下來的證明步驟分為兩部分:

  1. 將實對稱矩陣 B 表示成 B=CC^T,其中 Cn\times r 階實矩陣且 \mathrm{rank}C=r
  2. 求出 B 的特徵多項式 p_B(t),並證明 p_B(t) 的零重根數等於 n-r,由此推論 A=B+\lambda In-r 個重根 0+\lambda,即證得 k=n-r=n-\mathrm{rank}B

 
從目前所知的資訊足夠我們推斷出 B 的奇異值分解為

B=U\Sigma U^T

其中 U=\begin{bmatrix}  \mathbf{u}_1&\cdots&\mathbf{u}_n  \end{bmatrix} 為正交矩陣,U^T=U^{-1}\Sigma=\mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_r,0,\ldots,0) 包含 r 個非零奇異值 \sigma_i>0i=1,\ldots,r。令 \Sigma^{1/2}=\mathrm{diag}(\sqrt{\sigma_1},\ldots,\sqrt{\sigma_r},0,\ldots,0),則

B=U\Sigma^{1/2}\Sigma^{1/2}U^T=(U\Sigma^{1/2})(U\Sigma^{1/2})^T

再將 U\Sigma^{1/2} 以分塊矩陣表示如下:

U\Sigma^{1/2}=\begin{bmatrix}  ~&~&~&~&~&~\\  \sqrt{\sigma_1}\mathbf{u}_1&\cdots&\sqrt{\sigma_r}\mathbf{u}_r&\mathbf{0}&\cdots&\mathbf{0}\\  ~&~&~&~&~&~  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  C&0  \end{bmatrix}

也就有

B=\begin{bmatrix}  C&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  C^T\\  0  \end{bmatrix}=CC^T

分塊 C 包含 r 個線性獨立行向量,因此確定 \mathrm{rank}C=r

 
根據下面這個事實:若 XYn\times n 階,XYYX 有相同的特徵多項式 (見“不可逆矩陣的特徵多項式”),故可設

D=\begin{bmatrix}  C^T\\  0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  C&0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  C^TC&0\\  0&0  \end{bmatrix}

矩陣 B 的特徵多項式 p_B(t) 即為

p_B(t)=p_D(t)=\begin{vmatrix}  tI_r-C^TC&0\\  0&tI_{n-r}  \end{vmatrix}=t^{n-r}\mathrm{det}(tI_r-C^TC)

利用 \mathrm{rank}(C^TC)=\mathrm{rank}(C)=r (見“每週問題 October 19, 2009”),推斷 r\times r 階分塊 C^TC 可逆,所以 \mathrm{det}(tI_r-C^TC) 不含零根,因此證得 p_B(t) 恰有 n-r 個重根 t=0

This entry was posted in 線性代數專欄, 二次型 and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s