逆矩陣的恆等式

本文的閱讀等級:初級

本文介紹一些有用的逆矩陣恆等式。以下假設所有列出的矩陣加法、乘法和標示為逆矩陣者皆為合法運算。推導逆矩陣恆等式的主要工具包括逆矩陣公式:

A^{-1}A=A^{-1}A=I

逆矩陣的逆矩陣為矩陣自身,

(A^{-1})^{-1}=A

矩陣乘積的逆矩陣公式 (以下簡稱基本公式):

\begin{aligned}  (AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1}\\  (ABC)^{-1}&=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\end{aligned}

矩陣運算並滿足分配律,

\begin{aligned}  A(B+C)&=AB+AC\\  (A+B)C&=AC+BC\end{aligned}

以及結合律,

A(BC)=(AB)C

正式開始證明之前,我提醒讀者注意幾個相當管用的運算技巧。為了使基本公式發揮功能,設法將矩陣加法改寫為矩陣乘法,從矩陣算式中提出逆矩陣是最常用的步驟,例如:

I+A^{-1}=(A+I)A^{-1}=A^{-1}(A+I)

善用 (X^{-1})^{-1}=X,若條件允許,先計算複雜矩陣式 X 的逆矩陣,化簡分解 X^{-1} 之後,再計算一次逆矩陣;此外,代入適當矩陣式 XX^{-1}X=XX^{-1}=I 也可以創造分解機會。

 
等式一

A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}=B^{-1}(A+B)A^{-1}

A^{-1}+B^{-1} 提出 A^{-1}B^{-1},分別置於左右兩側,即得

\begin{aligned}  A^{-1}+B^{-1}&=A^{-1}(I+AB^{-1})=A^{-1}(B+A)B^{-1}\\  &=A^{-1}(A+B)B^{-1}\end{aligned}

若將 A^{-1}B^{-1} 的擺放位置對調,可得

\begin{aligned}  A^{-1}+B^{-1}&=(I+B^{-1}A)A^{-1}=B^{-1}(B+A)A^{-1}\\  &=B^{-1}(A+B)A^{-1}\end{aligned}

 
等式二

(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A

使用等式一右邊兩式計算逆矩陣,套入基本公式,立得

\begin{aligned}  (A^{-1}+B^{-1})^{-1}&=( A^{-1}(A+B)B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A\\  (A^{-1}+B^{-1})^{-1}&=( B^{-1}(A+B)A^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B\end{aligned}

 
等式三

(I+A^{-1})^{-1}=A(A+I)^{-1}=(A+I)^{-1}A

如證明等式一的方法,左提或右提 A^{-1},將 I+A^{-1} 表示成矩陣乘法:

I+A^{-1}=(A+I)A^{-1}=A^{-1}(A+I)

上式取逆矩陣即證得所求。

 
等式四

(I+AB)^{-1}A=A(I+BA)^{-1}

觀察出 (I+AB)^{-1}A 的逆矩陣 A^{-1}(I+AB) 具有較簡單形式,使用分配律計算如下:

\begin{aligned}  ((I+AB)^{-1}A)^{-1}&=A^{-1}(I+AB)=A^{-1}+B\\  &=(I+BA)A^{-1}\end{aligned}

再計算上式逆矩陣,即得

(I+AB)^{-1}=((I+BA)A^{-1})^{-1}=A(I+BA)^{-1}

 
等式五

(A+BB^T)^{-1}B=A^{-1}B(I+B^TA^{-1}B)^{-1}

如等式四解法,計算 (A+BB^T)^{-1}B 的逆矩陣,化簡後再提出因式:

\begin{aligned}  ((A+BB^T)^{-1}B)^{-1}&=B^{-1}(A+BB^T)=B^{-1}A+B^T\\  &=(I+B^TA^{-1}B)B^{-1}A\end{aligned}

上式取逆矩陣,即

\begin{aligned}  (A+BB^T)^{-1}B&=((I+B^TA^{-1}B)B^{-1}A)^{-1}\\  &=A^{-1}B(I+B^TA^{-1}B)^{-1}\end{aligned}

 
等式六

A-A(A+B)^{-1}A=B-B(A+B)^{-1}B

下面恆等式成立 (證明見“矩陣運算的基本技巧”):

(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A-A(A+B)^{-1}A

AB 互換位置,根據對稱原理,就有

(B^{-1}+A^{-1})^{-1}=B-B(B+A)^{-1}B

比較上面兩式即得證。另外,直接分解 A-A(A+B)^{-1}A 亦可行,靈巧地運用代數技巧,步驟如下:

\begin{aligned}  A-A(A+B)^{-1}A&=A-A(A+B)^{-1}(A+B-B)\\  &=A-A(A+B)^{-1}(A+B)+A(A+B)^{-1}B\\  &=A(A+B)^{-1}B\end{aligned}

將上式 AB 對調,就有

B-B(B+A)^{-1}B=B(B+A)^{-1}A=B(A+B)^{-1}A

利用等式二即證得原命題。

 
等式七

(I+AB)^{-1}=I-A(I+BA)^{-1}B

要從這個恆等式的構造一眼看清證明方法並不很容易。考慮

I=(I+AB)(I+AB)^{-1}=(I+AB)^{-1}+AB(I+AB)^{-1}

(I+AB)^{-1} 抽出,

(I+AB)^{-1}=I-AB(I+AB)^{-1}

觀察出 (I+AB)=B^{-1}(I+BA)B,取其逆矩陣得 (I+AB)^{-1}=B^{-1}(I+BA)^{-1}B,再代回上式等號右邊,乘開可得

\begin{aligned}  (I+AB)^{-1}&=I-AB(B^{-1}(I+BA)^{-1}B)\\  &=I-A(I+BA)^{-1}B\end{aligned}

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2 則回應給 逆矩陣的恆等式

  1. poppo 說:

    矩陣運算基本性質是否应是“分配律“与结合律?

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