逆矩陣與恆等式

本文的閱讀等級:初級

對於一個方陣 A,逆矩陣或稱反矩陣 (inverse) A^{-1} 使得

A^{-1}A=AA^{-1}=I

其中 I 為單位矩陣,例如,

I_2=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix},~~I_3=\begin{bmatrix}  1&0&0\\  0&1&0\\  0&0&1  \end{bmatrix}

一個矩陣的逆矩陣是唯一的。假設 BA=IAC=I,我們說 BA 的左逆,CA 的右逆。使用矩陣乘法結合律,

BAC=(BA)C=IC=C,~~BAC=B(AC)=BI=B

證明 B=C,左逆等於右逆。又如果 B'A=I,則 B'=C=B,因此證明逆矩陣的唯一性。若一個矩陣存在逆矩陣,我們稱之為非奇異 (nonsingular) 矩陣或可逆 (invertible) 矩陣;反之,則稱為奇異矩陣或不可逆矩陣。例如,P=\begin{bmatrix}  1&2\\  3&4  \end{bmatrix} 是非奇異矩陣,Q=\begin{bmatrix}  1&2\\  2&4  \end{bmatrix} 是奇異矩陣。對於 2\times 2 階可逆矩陣 A,逆矩陣公式為

\displaystyle  A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\!\!\begin{array}{rr}  d&-b\\  -c&a  \end{array}\!\!\right]

因此,A 是可逆矩陣的充要條件為 \det A=ad-bc\neq 0。這個結果對任意 n\times n 階矩陣 A 仍成立 (見“三階逆矩陣公式”)。

 
以下假設所有列出的矩陣加法、乘法和標示為逆矩陣者皆為合法運算。我們先說明逆矩陣的兩個基本公式:(1) 逆矩陣的逆矩陣公式

(A^{-1})^{-1}=A

根據定義 AA^{-1}=I,可知 (A^{-1})^{-1}=A。(2) 矩陣乘積的逆矩陣公式

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},~~  (ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}

計算 (AB)(AB)^{-1} 即可驗證。下面說明推導方式:假設 P=AB 是可逆的。因此,

B=A^{-1}AB=A^{-1}P,~~A=ABB^{-1}=PB^{-1}

使用上式,P=AB=PB^{-1}A^{-1}P,右乘 P^{-1},可得 PB^{-1}A^{-1}=I,故 (AB)^{-1}=P^{-1}=B^{-1}A^{-1}。推廣至三個矩陣相乘,

(ABC)^{-1}=((AB)C)^{-1}=C^{-1}(AB)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}

 
底下介紹一些有用的逆矩陣恆等式。推導逆矩陣恆等式的主要工具包括定義與上述基本公式。開始證明之前,我提醒讀者注意幾個相當管用的運算技巧。為了使基本公式發揮功能,設法將矩陣加法改寫為矩陣乘法,從矩陣算式中提出逆矩陣是最常用的步驟,例如:

I+A^{-1}=(A+I)A^{-1}=A^{-1}(A+I)

善用 (X^{-1})^{-1}=X,若條件允許,先計算複雜矩陣式 X 的逆矩陣,化簡分解 X^{-1} 之後,再計算一次逆矩陣;此外,代入適當矩陣式 XX^{-1}X=XX^{-1}=I 也可以創造分解機會。

 
等式1

A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}=B^{-1}(A+B)A^{-1}

A^{-1}+B^{-1} 提出 A^{-1}B^{-1},分別置於左右兩側,即得

\begin{aligned}  A^{-1}+B^{-1}&=A^{-1}(I+AB^{-1})=A^{-1}(B+A)B^{-1}\\  &=A^{-1}(A+B)B^{-1}.\end{aligned}

若將 A^{-1}B^{-1} 的擺放位置對調,可得

\begin{aligned}  A^{-1}+B^{-1}&=(I+B^{-1}A)A^{-1}=B^{-1}(B+A)A^{-1}\\  &=B^{-1}(A+B)A^{-1}.\end{aligned}

 
等式2

(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A

使用等式1右邊兩式計算逆矩陣,套入基本公式,立得

\begin{aligned}  (A^{-1}+B^{-1})^{-1}&=( A^{-1}(A+B)B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A\\  (A^{-1}+B^{-1})^{-1}&=( B^{-1}(A+B)A^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B.\end{aligned}

 
等式3

(I+A^{-1})^{-1}=A(A+I)^{-1}=(A+I)^{-1}A

如證明等式1的方法,左提或右提 A^{-1},將 I+A^{-1} 表示成矩陣乘法:

I+A^{-1}=(A+I)A^{-1}=A^{-1}(A+I)

上式取逆矩陣即證得所求。

 
等式4

(I+AB)^{-1}A=A(I+BA)^{-1}

觀察出 (I+AB)^{-1}A 的逆矩陣 A^{-1}(I+AB) 具有較簡單形式,使用分配律,

\begin{aligned}  ((I+AB)^{-1}A)^{-1}&=A^{-1}(I+AB)=A^{-1}+B\\  &=(I+BA)A^{-1}.\end{aligned}

再計算上式逆矩陣,

(I+AB)^{-1}A=((I+BA)A^{-1})^{-1}=A(I+BA)^{-1}

 
等式5

(A+BB^T)^{-1}B=A^{-1}B(I+B^TA^{-1}B)^{-1}

如等式4解法,計算 (A+BB^T)^{-1}B 的逆矩陣,化簡後再提出因式:

\begin{aligned}  ((A+BB^T)^{-1}B)^{-1}&=B^{-1}(A+BB^T)=B^{-1}A+B^T\\  &=(I+B^TA^{-1}B)B^{-1}A.\end{aligned}

上式取逆矩陣,

\begin{aligned}  (A+BB^T)^{-1}B&=((I+B^TA^{-1}B)B^{-1}A)^{-1}\\  &=A^{-1}B(I+B^TA^{-1}B)^{-1}.\end{aligned}

 
等式6

A-A(A+B)^{-1}A=B-B(A+B)^{-1}B

直接分解 A-A(A+B)^{-1}A,靈巧地運用代數技巧,步驟如下:

\begin{aligned}  A-A(A+B)^{-1}A&=A-A(A+B)^{-1}(A+B-B)\\  &=A-A(A+B)^{-1}(A+B)+A(A+B)^{-1}B\\  &=A(A+B)^{-1}B.\end{aligned}

將上式 AB 對調,就有

B-B(B+A)^{-1}B=B(B+A)^{-1}A=B(A+B)^{-1}A

利用等式2即得證。

 
等式7

(I+AB)^{-1}=I-A(I+BA)^{-1}B

要從這個等式的構造一眼看清證明方法並不很容易。考慮

I=(I+AB)(I+AB)^{-1}=(I+AB)^{-1}+AB(I+AB)^{-1}

(I+AB)^{-1} 抽出,

(I+AB)^{-1}=I-AB(I+AB)^{-1}

觀察出 (I+AB)=B^{-1}(I+BA)B,取其逆矩陣得 (I+AB)^{-1}=B^{-1}(I+BA)^{-1}B,再代回上式等號右邊,乘開可得

\begin{aligned}  (I+AB)^{-1}&=I-AB(B^{-1}(I+BA)^{-1}B)\\  &=I-A(I+BA)^{-1}B.\end{aligned}

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2 則回應給 逆矩陣與恆等式

  1. poppo 說道:

    矩陣運算基本性質是否应是“分配律“与结合律?

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