## 逆矩陣的恆等式

$A^{-1}A=A^{-1}A=I$

$(A^{-1})^{-1}=A$

\begin{aligned} (AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1}\\ (ABC)^{-1}&=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\end{aligned}

\begin{aligned} A(B+C)&=AB+AC\\ (A+B)C&=AC+BC\end{aligned}

$A(BC)=(AB)C$

$I+A^{-1}=(A+I)A^{-1}=A^{-1}(A+I)$

$A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}=B^{-1}(A+B)A^{-1}$

$A^{-1}+B^{-1}$ 提出 $A^{-1}$$B^{-1}$，分別置於左右兩側，即得

\begin{aligned} A^{-1}+B^{-1}&=A^{-1}(I+AB^{-1})=A^{-1}(B+A)B^{-1}\\ &=A^{-1}(A+B)B^{-1}\end{aligned}

\begin{aligned} A^{-1}+B^{-1}&=(I+B^{-1}A)A^{-1}=B^{-1}(B+A)A^{-1}\\ &=B^{-1}(A+B)A^{-1}\end{aligned}

$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A$

\begin{aligned} (A^{-1}+B^{-1})^{-1}&=( A^{-1}(A+B)B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A\\ (A^{-1}+B^{-1})^{-1}&=( B^{-1}(A+B)A^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B\end{aligned}

$(I+A^{-1})^{-1}=A(A+I)^{-1}=(A+I)^{-1}A$

$I+A^{-1}=(A+I)A^{-1}=A^{-1}(A+I)$

$(I+AB)^{-1}A=A(I+BA)^{-1}$

\begin{aligned} ((I+AB)^{-1}A)^{-1}&=A^{-1}(I+AB)=A^{-1}+B\\ &=(I+BA)A^{-1}\end{aligned}

$(I+AB)^{-1}=((I+BA)A^{-1})^{-1}=A(I+BA)^{-1}$

$(A+BB^T)^{-1}B=A^{-1}B(I+B^TA^{-1}B)^{-1}$

\begin{aligned} ((A+BB^T)^{-1}B)^{-1}&=B^{-1}(A+BB^T)=B^{-1}A+B^T\\ &=(I+B^TA^{-1}B)B^{-1}A\end{aligned}

\begin{aligned} (A+BB^T)^{-1}B&=((I+B^TA^{-1}B)B^{-1}A)^{-1}\\ &=A^{-1}B(I+B^TA^{-1}B)^{-1}\end{aligned}

$A-A(A+B)^{-1}A=B-B(A+B)^{-1}B$

$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A-A(A+B)^{-1}A$

$A$$B$ 互換位置，根據對稱原理，就有

$(B^{-1}+A^{-1})^{-1}=B-B(B+A)^{-1}B$

\begin{aligned} A-A(A+B)^{-1}A&=A-A(A+B)^{-1}(A+B-B)\\ &=A-A(A+B)^{-1}(A+B)+A(A+B)^{-1}B\\ &=A(A+B)^{-1}B\end{aligned}

$B-B(B+A)^{-1}B=B(B+A)^{-1}A=B(A+B)^{-1}A$

$(I+AB)^{-1}=I-A(I+BA)^{-1}B$

$I=(I+AB)(I+AB)^{-1}=(I+AB)^{-1}+AB(I+AB)^{-1}$

$(I+AB)^{-1}$ 抽出，

$(I+AB)^{-1}=I-AB(I+AB)^{-1}$

\begin{aligned} (I+AB)^{-1}&=I-AB(B^{-1}(I+BA)^{-1}B)\\ &=I-A(I+BA)^{-1}B\end{aligned}

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### 2 則回應給 逆矩陣的恆等式

1. poppo 說：

矩陣運算基本性質是否应是“分配律“与结合律？

• ccjou 說：

感謝指正。矩陣不具備交換律。