超迷你克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級

考慮線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b},其中 n\times n 階係數矩陣 A 可用行向量表示為 A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix}\mathbf{b}n 維常數向量,且 \mathbf{x}n 維未知向量。若 A 是可逆矩陣,克拉瑪公式給出以下方程解:

x_i=\displaystyle\frac{\det A_i(\mathbf{b})}{\det A},~~i=1,\ldots,n

其中 A_i(\mathbf{b}) 表示以向量 \mathbf{b} 取代 A 的第 i 行 (即 \mathbf{a}_i) 而得的 n\times n 階矩陣:

A_i(\mathbf{b})=\begin{bmatrix}    ~&~&~&~&~&~&~\\    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{i-1}&\mathbf{b}&\mathbf{a}_{i+1}&\cdots&\mathbf{a}_n\\    ~&~&~&~&~&~&~    \end{bmatrix}

克拉瑪公式有多種不同的證明方法,“克拉瑪公式的證明”使用了矩陣乘積的行列式可乘公式,“再談克拉瑪公式的證明”運用選擇消滅技巧化簡方程式,“克拉瑪公式的簡易幾何證明”則建立於行列式的幾何性質上。本文再介紹另一個非常簡潔的證明方法 (此法由網友 andy6829 提供)。

 
我們介紹的這個超迷你證法僅引用以下兩個行列式基本性質 (見“行列式的運算公式與性質”):

(1) 若方陣 A 有相同的兩行 (或兩列),則 \det A=0

(2) 考慮任一行 (或任一列),當其餘行 (或列) 都固定時,行列式是該行 (或該列) 的線性函數;以二階方陣為例,

\begin{aligned}  \begin{vmatrix}    ka&b\\    kc&d    \end{vmatrix}&=k\begin{vmatrix}    a&b\\    c&d    \end{vmatrix}\\    \begin{vmatrix}    a+a^{\prime}&b\\    c+c^{\prime}&d    \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}    a&b\\    c&d    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    a^{\prime}&b\\    c^{\prime}&d    \end{vmatrix},\end{aligned}

也就是說

\displaystyle  \begin{vmatrix}    ka+k'a'&b\\    kc+k'c'&d    \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}    a&b\\    c&d    \end{vmatrix}+k'\begin{vmatrix}  a'&b\\  c'&d  \end{vmatrix}

 
證明過程如下:直接將

\begin{aligned}  \mathbf{b}&=A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    x_1\\    \vdots\\    x_n    \end{bmatrix}=\displaystyle\sum_{j=1}^nx_j\mathbf{a}_j\end{aligned}

代入計算 \det A_i(\mathbf{b}),讓性質 (2) 盡情發揮作用,

\begin{aligned}  \det A_i(\mathbf{b})&=\displaystyle\det\begin{bmatrix}    ~&~&~&~&~&~&~\\    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{i-1}&\sum_{j=1}^nx_j\mathbf{a}_j &\mathbf{a}_{i+1}&\cdots&\mathbf{a}_n\\    ~&~&~&~&~&~&~    \end{bmatrix}\\    &=\sum_{j=1}^n\det\begin{bmatrix}    ~&~&~&~&~&~&~\\    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{i-1}&x_j\mathbf{a}_j&\mathbf{a}_{i+1}&\cdots&\mathbf{a}_n\\    ~&~&~&~&~&~&~    \end{bmatrix}\\    &=\sum_{j=1}^nx_j\cdot\det\begin{bmatrix}    ~&~&~&~&~&~&~\\    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{i-1}&\mathbf{a}_j&\mathbf{a}_{i+1}&\cdots&\mathbf{a}_n\\    ~&~&~&~&~&~&~    \end{bmatrix}.\end{aligned}

再使用性質 (1),立得

\det A_i(\mathbf{b})=x_i\cdot\det\begin{bmatrix}    ~&~&~&~&~&~&~\\    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{i-1}&\mathbf{a}_i&\mathbf{a}_{i+1}&\cdots&\mathbf{a}_n\\    ~&~&~&~&~&~&~    \end{bmatrix}=x_i\cdot\det A

上式對任一 i=1,\ldots,n 都成立,證畢。

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3 則回應給 超迷你克拉瑪公式的證明

  1. Skyz 說道:

    這個是G. Strang書裡面的證明
    感謝老師 我在證明的時候出現一點問題
    把他推倒n

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