相關係數

Posted on 03/09/2011 by

本文的閱讀等級：中級

假設我們從實驗、研究或調查中獲得兩個變數 x，y 的觀測記錄 (x_i,y_i)，i=1,\ldots,n。若一個變數變化時，另一個變數也以某種相關方式變化，我們便稱這兩個變數彼此相關 (correlation)。如果兩個變數之間的關係是線性的，那麼要如何測量它們的相關程度呢？在實際應用中，皮爾生相關係數 (Pearson correlation coefficient) 是目前最普遍被採用的一種度量方式。本文從幾何觀點推導皮爾生相關係數並解釋其涵義。

 
將觀測記錄合併成向量 \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T，\mathbf{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)^T，變數 x 和 y 的線性相關問題可以改為：給定 \mathbb{R}^n 空間二向量 \mathbf{x} 和 \mathbf{y}，如何測量 \mathbf{x} 與 \mathbf{y} 的「線性相近」關係？若 y 和 x 具有完美的線性關係，y_i=b_0+b_1x_i，i=1,\ldots,n，則下列方程組是一致的 (見“曲線配適”)：

\begin{bmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ \vdots&\vdots\\ 1&x_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_0\\ b_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}。

令 \mathbf{1}=(1,1,\ldots,1)^T 且 X=\begin{bmatrix} \mathbf{1}&\mathbf{x} \end{bmatrix}。線性方程組可表示為 X\begin{bmatrix} b_0\\ b_1 \end{bmatrix}=\mathbf{y}。在一般情況下，上述方程式常不存在解，但我們可以計算最佳近似解。定義殘差 (residual) e_i=y_i-b_0-b_1x_i，問題轉換成找出 b_0 和 b_1 使殘差平方和 \sum_{i=1}^ne_i^2 得以最小化，即

\Vert\mathbf{e}\Vert^2=\Vert\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\Vert^2=\left\Vert\mathbf{y}-X\begin{bmatrix} b_0\\ b_1 \end{bmatrix}\right\Vert^2，

上式中 \mathbf{e} 和 \hat{\mathbf{y}} 代表 e_i 和 \hat{y}_i=b_0+b_1x_i 構成的 n 維實向量。根據正交原則，最小殘差 \mathbf{e} 必正交於 X 的行空間 C(X) (見“從線性變換解釋最小平方近似”)，而 N(X^T) 為 C(X) 的正交補餘，故知 \mathbf{e}\in N(X^T)，就有 X^T\mathbf{e}=X^T\left(\mathbf{y}-X\begin{bmatrix} b_0\\ b_1 \end{bmatrix}\right)=\mathbf{0}，或寫為

X^TX\begin{bmatrix} b_0\\ b_1 \end{bmatrix}=X^T\mathbf{y}，

稱為正規方程式 (normal equation)，它給出殘差最小化的必要條件。將矩陣式乘開可得

\begin{aligned}\displaystyle nb_0+b_1\sum_{i=1}^nx_i&=\sum_{i=1}^ny_i\\ b_0\sum_{i=1}^nx_i+b_1\sum_{i=1}^nx_i^2&=\sum_{i=1}^nx_iy_i.\end{aligned}

若線性方程組是一致的，可解得最佳參數，以 \hat{b}_0 和 \hat{b}_1 表示，故最佳直線為 \hat{y}=\hat{b}_0+\hat{b}_1x。

 
接下來我們說明在最佳情況下，正規方程式的衍生結果。

(1) 由條件式 X^T\mathbf{e}=\begin{bmatrix} \mathbf{1}^T\\ \mathbf{x}^T \end{bmatrix}\mathbf{e}=\mathbf{0} 立得 \mathbf{1}^T\mathbf{e}=\sum_{i=1}^ne_i=0，即殘差的平均值為零，且 \mathbf{x}^T\mathbf{e}=0。

(2) 因為 \hat{\mathbf{y}}=\hat{b}_0\mathbf{1}+\hat{b}_1\mathbf{x}，由結果 (1) 可知 \hat{\mathbf{y}}^T\mathbf{e}=\hat{b}_0\mathbf{1}^T\mathbf{e}+\hat{b}_1\mathbf{x}^T\mathbf{e}=0。

(3) 令 x 和 y 的樣本平均數分別為 \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i，\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i。將第一條正規方程式通除 n，即得 \hat{b}_0+\hat{b}_1\bar{x}=\bar{y}，所以，

\hat{\mathbf{y}}-\bar{y}\mathbf{1}=\hat{b}_0\mathbf{1}+\hat{b}_1\mathbf{x}-(\hat{b}_0+\hat{b}_1\bar{x})\mathbf{1}=\hat{b}_1(\mathbf{x}-\bar{x}\mathbf{1})，

再由結果 (1)，推知 (\hat{\mathbf{y}}-\bar{y}\mathbf{1})^T\mathbf{e}=0。

(4) 計算變數 y 的總變異，也就是所有離差 (偏離平均數的差) y_i-\bar{y} 的平方和，利用 (3)，推得

\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2&=\Vert\mathbf{y}-\bar{y}\mathbf{1}\Vert^2\\ &=\Vert(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})+(\hat{\mathbf{y}}-\bar{y}\mathbf{1})\Vert^2\\ &=\Vert \mathbf{e}+(\hat{\mathbf{y}}-\bar{y}\mathbf{1})\Vert^2\\ &=\Vert\mathbf{e}\Vert^2+\Vert\hat{\mathbf{y}}-\bar{y}\mathbf{1}\Vert^2+2\mathbf{e}^T(\hat{\mathbf{y}}-\bar{y}\mathbf{1})\\ &=\Vert\mathbf{e}\Vert^2+\Vert\hat{\mathbf{y}}-\bar{y}\mathbf{1}\Vert^2,\end{aligned}

故變數 y 的總離差平方和可分解為殘差平方和和 \hat{y} 的離差平方和。

 
我們觀察出結果 (4) 不過就是畢氏定理，

\Vert\mathbf{y}-\bar{y}\mathbf{1}\Vert^2=\hat{b}_1^2\Vert \mathbf{x}-\bar{x}\mathbf{1}\Vert^2+\Vert\mathbf{e}\Vert^2。

直角三角形的斜邊是 \mathbf{y}-\bar{y}\mathbf{1}，而垂直兩股分別是 \hat{b}_1(\mathbf{x}-\bar{x}\mathbf{1}) 和 \mathbf{e}。令 \theta 為向量 \mathbf{y}-\bar{y}\mathbf{1} 與 \mathbf{x}-\bar{x}\mathbf{1} 的夾角，由直角三角形關係可得

\cos^2\theta=\displaystyle\frac{\hat{b}_1^2\Vert \mathbf{x}-\bar{x}\mathbf{1}\Vert^2}{\Vert\mathbf{y}-\bar{y}\mathbf{1}\Vert^2}。

由於 \hat{\mathbf{y}}=\hat{b}_0\mathbf{1}+\hat{b}_1\mathbf{x} 已充分表達了 x 和 y 之間的線性關係，\cos^2\theta 可解讀為 y 的總變異被 x 所「解釋」的比例，故餘弦函數 \cos\theta 可用來測量兩變數之間的線性相關程度。從幾何觀點，兩向量夾角的餘弦函數代表兩向量的相似度；若兩向量指向相同方向，\cos\theta=1，表示正相關；若兩向量指向相反方向，\cos\theta=-1，表示負相關；又若兩向量指向相互垂直，\cos\theta=0，表示無關。欲求出 \cos\theta，我們無須解出 \hat{b}_1，向量 \mathbf{y}-\bar{y}\mathbf{1} 和 \mathbf{x}-\bar{x}\mathbf{1} 的內積提供餘弦函數的直接計算方式 (見“內積的定義”)：

\cos\theta=\displaystyle\frac{(\mathbf{y}-\bar{y}\mathbf{1})^T(\mathbf{x}-\bar{x}\mathbf{1})}{\Vert\mathbf{y}-\bar{y}\mathbf{1}\Vert\cdot\Vert \mathbf{x}-\bar{x}\mathbf{1}\Vert}=\frac{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})(x_i-\bar{x})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}}，

此即為著名的皮爾生 (樣本) 相關係數。換句話說，樣本相關係數是離差向量 \mathbf{y}-\overline{y}\mathbf{1} 和 \mathbf{x}-\overline{x}\mathbf{1} 所夾角的餘弦 (見“數據矩陣的列與行”)。統計學通常以下式定義樣本相關係數：

r=\displaystyle\frac{s_{xy}}{s_xs_y}，

其中 s^2_x 和 s^2_y 分別代表變數 x 和 y 的樣本變異數：

\displaystyle s_x^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2,~s^2_y=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2，

分子 s_{xy} 代表這兩個變數的樣本共變異數：

s_{xy}=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})。

附帶一提，前述最佳直線可表示為 (推導過程見“樣本平均數、變異數和共變異數”)

\displaystyle \frac{\hat{y}-\bar{y}}{s_y}=r\left(\frac{x-\bar{x}}{s_x}\right)。

下圖顯示四組資料散布圖並標示相關係數。如欲進一步了解相關係數大小與資料散布圖形的關係，請參考維基百科的圖文說明Correlation and dependence。

Correlation

四組資料散布圖

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2 Responses to 相關係數

  1. 張盛東 說道：
    04/23/2014 at 7:12 上午

    周老師，有空的話可否從線性代數的觀點說明一下偏相關係數(Partial Correlation Coefficient)與相關係數的關係呢?

    回應

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