證明或反駁

本文的閱讀等級:初級

不論是線性代數或其他數學科目,形式向來凌駕實質內容,學習教材無一不是經過刻意選取裁剪,原因是教學使命在於有效地傳遞知識,而不是訓練如何處理不定情況。然而,證明或反駁命題卻需要多元靈活的思索過程,判斷命題真偽不僅要重組因果邏輯,還必須聯想相關的基本概念,難怪常常我們看得懂書本內容,但就是不曉得如何證明或反駁。看下面這個命題 (取自台大數研所 2011 年碩士班入學試題):

ABn\times n 階實矩陣且 AB=-BA,則 AB 至少有一不為可逆矩陣。

請分別就 n=3n=4 二種情況,證明或反駁此命題。

 
邏輯思考在選定了基本概念之後頗能有所發揮,但困難之處也正起於這一點,我們先要選擇可用於判定可逆矩陣的基本概念 (見“可逆矩陣定理”)。福爾摩斯 (Sherlock Holmes) 說[1]:「調查犯罪的第一法則是:你必須尋找各種可能解釋事情的方法,然後想辦法看看能否推翻它。」想出好主意的方法不外是想出許多主意,一開始注意力不可過度集中,盡量擴大我們的想像空間,寫下所知道的相關概念,再刪除不能搭配操作 AB=-BA 的概念,例如:

特徵值,行列式,零空間行空間矩陣秩

如此事情變得明朗多了:若能證明 \det(AB)=(\det A)(\det B)=0,即 AB 不可逆,立知 AB 至少有一不為可逆矩陣。計算等號兩邊的行列式,

\begin{aligned}  \det(AB)&=\det(-BA)=(-1)^n\det(BA)\end{aligned}

利用矩陣乘積的行列式可乘公式,即得

\begin{aligned}  \det(BA)&=(\det B)(\det A)=(\det A)(\det B)=\det(AB)\end{aligned}

於是導出

\det(AB)=(-1)^n\det(AB)

n=3\det(AB)=-\det(AB),故 \det(AB)=0,證得 \det A=0\det B=0,原命題成立。當 n=4\det(AB)=\det(AB),此結果未產生可用訊息。既然無從推論 AB 至少有一不可逆,我們轉而嘗試反駁此命題,也就是舉出 4\times 4 階可逆矩陣 AB 使得 AB=-BA。問題是如何從茫茫「陣海」找出滿足上述條件的矩陣呢?最簡單的辦法是設法從已知關係式衍生出限制條件。

 
AB 可逆,將關係式改寫為 A=B(-A)B^{-1},這說明 A 相似於 -A。令 \lambda_ii=1,\ldots,4,為 A 的特徵值,則 -A 的特徵值為 -\lambda_ii=1,\ldots,4。二相似矩陣有相同的特徵值集合,因此限制了 A 的特徵值必為成對的相反數 \alpha,\beta,-\alpha,-\beta,且 \alpha\neq 0\beta\neq 0 (否則 A 為不可逆矩陣)。考慮簡單情況,令 \alpha=\beta=1A 為下列對角矩陣:

A=\begin{bmatrix}    1&~&~&~\\    ~&1&~&~\\    ~&~&-1&~\\    ~&~&~&-1    \end{bmatrix}

比較 A-A 的型態可觀察出 B 的作用在改變 A 的主對角元排序,下面的排列矩陣符合所求:

B=\begin{bmatrix}    ~&~&~&1\\    ~&~&1&~\\    ~&1&~&~\\    1&~&~&~    \end{bmatrix}

不難驗證 AB=-BA

 
合用的基本概念未必如上例那麼明顯,再看一個例子:

不存在 n\times n 階矩陣 AB 滿足 AB-BA=I_n,證明或反駁此命題。

欲證明此命題,我們可同時對上式等號兩邊執行某種運算,若結果不相同,即代表等式不成立。沿用老方法,寫下我們學過的矩陣函數,再刪除不適用者,如下:

矩陣秩行列式,跡數

計算條件式等號兩邊的跡數。利用跡數為線性矩陣函數以及循環不變性 \mathrm{trace}(AB)=\mathrm{trace}(BA) (見“跡數的性質與應用”),條件式等號左邊為

\mathrm{trace}(AB-BA)=\mathrm{trace}(AB)-\mathrm{trace}(BA)=\mathrm{trace}(AB)-\mathrm{trace}(AB)=0

等號右邊是 \mathrm{trace}I_n=n,但 n\neq 0,證得原命題為真。

註解:
[1] 原文是 “One should always look for a possible alternative and provide against it. It is the first rule of criminal investigation.”

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1 則回應給 證明或反駁

  1. Liang Dai 說:

    好题。

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