線性變換集合構成向量空間

本文的閱讀等級:初級

線性變換的本質是數學函數,表示為 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W},其中向量空間 \mathcal{V} 是定義域,向量空間 \mathcal{W} 是到達域。線性變換 T\mathbf{x}\in\mathcal{V} 映至 T(\mathbf{x})\in\mathcal{W}。線性變換本身也擁有向量的性質,因為從 \mathcal{V} 映至 \mathcal{W} 的所有線性變換構成的集合具有向量空間結構,本文從這個角度探究線性變換、矩陣和向量空間三者之間的錯綜關係。

 
欲證明線性變換所構成的集合具有向量空間結構,我們必須先定義線性變換加法和純量乘法,且二者仍為線性變換。令 \mathcal{V}\mathcal{W} 為佈於相同數系 (\mathbb{R}\mathbb{C}) 的向量空間,TU\mathcal{V} 映至 \mathcal{W} 的線性變換,c 是屬於相同數系的任一純量。定義 (T+U)(cT)\mathcal{V} 映至 \mathcal{W} 的變換,如下:

\begin{aligned}  (T+U)(\mathbf{x})&=T(\mathbf{x})+U(\mathbf{x})\\    (cT)(\mathbf{x})&=cT(\mathbf{x}).\end{aligned}

接著我們證明 (T+U)(cT) 皆為線性變換。分別考慮 (T+U)(\mathbf{x}+\mathbf{y})(T+U)(d\mathbf{x})d 為一純量,利用 TU 的線性變換性質,可得

\begin{aligned}  (T+U)(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=T(\mathbf{x}+\mathbf{y})+U(\mathbf{x}+\mathbf{y})\\  &=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})+U(\mathbf{x})+U(\mathbf{y})\\  &=T(\mathbf{x})+U(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})+U(\mathbf{y})\\  &=(T+U)(\mathbf{x})+(T+U)(\mathbf{y}),\end{aligned}

而且

\begin{aligned}  (T+U)(d\mathbf{x})&=T(d\mathbf{x})+U(d\mathbf{x})=dT(\mathbf{x})+dU(\mathbf{x})\\  &=d( T(\mathbf{x})+U(\mathbf{x}))=d(T+U)(\mathbf{x}).\end{aligned}

這證明了 (T+U) 為一線性變換。運用同樣方式也可證得 (cT) 為一線性變換,過程如下:

\begin{aligned}  (cT)(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=cT(\mathbf{x}+\mathbf{y})=c(T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y}))\\  &=cT(\mathbf{x})+cT(\mathbf{y})=(cT)(\mathbf{x})+(cT)(\mathbf{y}),\end{aligned}

而且

\begin{aligned}  (cT)(d\mathbf{x})&=cT(d\mathbf{x})=c(dT(\mathbf{x}))=d(c T(\mathbf{x})=d(cT)(\mathbf{x}).\end{aligned}

 
既知線性變換存在加法運算 (T+U) 與純量乘法運算 (cT),接下來只要檢驗線性變換的加法與乘法滿足向量空間要求的八個公理 (見“同構的向量空間”),即可證得從 \mathcal{V} 映至 \mathcal{W} 的線性變換所構成的集合為一向量空間,這部分工作就留給讀者自行驗證。我們用符號 L(\mathcal{V},\mathcal{W}) 代表所有從 \mathcal{V} 映至 \mathcal{W} 的線性變換所形成的向量空間。提醒讀者,在 L(\mathcal{V},\mathcal{W}) 空間中,零向量就是零變換 0,即對於任何 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 都有 0(\mathbf{x})=\mathbf{0}

 
兩個觀點往往勝過一個觀點,我們從線性變換表示矩陣很容易解析空間 L(\mathcal{V},\mathcal{W}) 的維數。考慮線性變換 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W},其中 \mathrm{dim}\mathcal{V}=n\mathrm{dim}\mathcal{W}=m。一旦選擇了 \mathcal{V}\mathcal{W} 的基底,分別設為 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\boldsymbol{\gamma}=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_m\},線性變換 T 便有唯一的 m\times n 階表示矩陣 A,並滿足 (見“線性變換表示矩陣”)

[T(\mathbf{x})]_{\boldsymbol{\gamma}}=A[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}

上式中 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}} 代表 \mathbf{x} 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的座標向量。這個結果說明線性變換所構成的空間 L(\mathcal{V},\mathcal{W}) 同構於 (isomorphic) m\times n 階矩陣形成的向量空間,也就有 \dim L(\mathcal{V},\mathcal{W})=mn

 
線性變換 (或參考某基底的表示矩陣) 有別於一般向量空間的主要特性在於線性變換具備函數功能。令 \mathcal{V}\mathcal{W}\mathcal{X} 為佈於相同數系的向量空間,且 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W}U:\mathcal{W}\to\mathcal{X} 為線性變換,定義下列複合變換:

(U\circ T)(\mathbf{x})=U(T(\mathbf{x}))

不難證明從 \mathcal{V} 映至 \mathcal{X} 的複合變換 (U\circ T) 亦為一線性變換,如下:

\begin{aligned}  (U\circ T)(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=U(T(\mathbf{x}+\mathbf{y}))=U(T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y}))\\  &=U(T(\mathbf{x}))+U(T(\mathbf{y}))=(U\circ T)(\mathbf{x})+(U\circ T)(\mathbf{y}),\end{aligned}

而且

\begin{aligned}  (U\circ T)(c\mathbf{x})&=U(T(c\mathbf{x}))=U(cT(\mathbf{x}))\\  &=cU(T(\mathbf{x}))=c(U\circ T)(\mathbf{x}).\end{aligned}

 
最後我們說明複合線性變換與矩陣乘法的關係。上文闡述了矩陣所構成的集合構成向量空間,而矩陣別於一般向量之處即在矩陣具有矩陣乘法運算,事實上,矩陣乘積正是複合線性變換的表示矩陣 (見“線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義”)。若線性變換 TU 的矩陣表達式為 T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}U(\mathbf{y})=B\mathbf{y},其中 Am\times n 階矩陣,Bp\times m 階矩陣。令向量 \mathbf{x} 經複合變換 (U\circ T),利用矩陣乘法結合律,可得

(U\circ T)(\mathbf{x})=U(T(\mathbf{x}))=U(A\mathbf{x})=B(A\mathbf{x})=(BA)\mathbf{x}

複合線性變換 U\circ T 和矩陣乘積 BA 是一體兩面,因此我們也可以將複合線性變換 U\circ T 看成線性變換乘法 UT

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4 則回應給 線性變換集合構成向量空間

  1. KKT 說:

    我发现老师的很多精彩论述,都和Linear Algebra in Action一书有异曲同工之妙。
    不知道老师是否能推荐一下您自己喜欢的linear algebra和matrix analysis的文档书籍? 大陆这边很多通常的matrix analysis书籍,内容都较相似,内容很少, 对于方法上的论述(如您的分块矩阵证明det(AB)=det(BA))几乎没有介绍,对于在几何空间上的联系的论述(如您的乒乓球桌面辅助思考矩阵空间)也非常少。

    谢谢

  2. ccjou 說:

    我手邊沒有Linear Algebra in Action(Harry Dym, 2006)這書,交大圖書館竟然也沒有此書?!所以不清楚哪部分的論述是異曲同工。

    我撰文時通常會先查閱數本相關教材的講解方式,或者用google查閱文獻,重要的參照便於文末寫出使用的參考文獻,很多大量改寫(如拒絕行列式的特徵分析)也有些是即興潤飾之作(如用乒乓球桌面解釋子空間映射放在Gilbert Strang 教授提出的子空間示意圖上)。改日我再列出一我知道的的Linear Algebra 和 Matrix Analysis 的參考文獻列表,並簡述各書的特色。

  3. Wheat 說:

    你好,我是因為想要尋找克拉瑪公式的證明、推導,所以來到這個網站的;真的很符合需求!不過因為程度上的關係(高中三類組,大學沒再碰數學了),一時半刻間看不懂。很喜歡這個網站,因為高中的課本沒有說的這麼深入。

    BTW,這篇文章第三張圖的部分,"( T + U )( dx ) = … = d ( T + U )( x ) " 的推導中有一個地方打錯了;應該是 dT( x ) + dU( x ),而不是 “dT( x ) + dU( y )"

    • ccjou 說:

      謝謝指出錯誤,已經訂正。閱讀導引提供了一套循序漸進的文章列表,你可以從那裡挑選有興趣的主題。

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