商空間 (上)

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\mathcal{X} 是向量空間 \mathcal{V} 的一子空間。若 \mathcal{V} 的任何子空間 \mathcal{Y} 滿足 \mathcal{X}\oplus\mathcal{Y}=\mathcal{V},即 \mathcal{X}+\mathcal{Y}=\mathcal{V}\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\mathcal{O},我們說 \mathcal{V}\mathcal{X}\mathcal{Y} 的直和,則 \mathcal{Y} 稱為 \mathcal{X} 的補子空間 (或稱補空間)。在此情況下,每一 \mathbf{v}\in\mathcal{V} 皆可唯一分解為 \mathbf{v}=\mathbf{x}+\mathbf{y},其中 \mathbf{x}\in\mathcal{X}\mathbf{y}\in\mathcal{Y} (見“補子空間與直和”)。若 \mathcal{V} 是一有限維內積空間,則 \mathcal{X} 有唯一的正交補餘 \mathcal{X}^{\perp},上述唯一分解式另滿足 \mathbf{x}\perp\mathbf{y},或表示為 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=0。如果 \mathcal{V} 不是內積空間,便不存在自然且唯一的補子空間。本文介紹一個由 \mathcal{V}\mathcal{X} 建構而成的自然且唯一的向量空間,稱為商空間 (quotient space),記作 \mathcal{V}/\mathcal{X}。不過,\mathcal{V}/\mathcal{X} 不是 \mathcal{V} 的一子空間,因此並非 \mathcal{X} 的補子空間。商空間 \mathcal{V}/\mathcal{X} 的主要性質是它與 \mathcal{X} 的每一個補子空間 \mathcal{Y} 都是同構的。就這層意義而言,\mathcal{V}/\mathcal{X} 確實也扮演了 \mathcal{X} 的補子空間角色。

 
透過幾何圖像可以幫助我們理解商空間概念。見下圖,考慮向量空間 \mathcal{V}=\mathbb{R}^2,令子空間 \mathcal{X} 為 X 軸,\mathcal{X}=\{(x_1,x_2)\vert x_2=0\}。任何穿越原點且不屬於 \mathcal{X} 的直線 \mathcal{L} 都是 \mathcal{X} 的補子空間,可知 \mathcal{X} 有無窮多個補子空間。觀察發現 \mathcal{X} 的任一補子空間 (直線 \mathcal{L}) 皆與平行於 X 軸的直線 (圖中水平虛線) 相交於一點,這個事實引伸出利用所有水平直線來建構向量空間的想法。令 \mathbf{u}\mathbb{R}^2 的任一向量,我們以 \mathbf{u}+\mathcal{X} 代表穿越 \mathbf{u} 端點的水平直線,

\mathbf{u}+\mathcal{X}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\{\mathbf{u}+\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathcal{X}\}

稱為子空間 \mathcal{X} 的一個陪集 (coset)。此處不妨將陪集 \mathbf{u}+\mathcal{X} 想成子空間 \mathcal{X} 經平移 \mathbf{u} 後所形成的集合,除非 \mathbf{u}=\mathbf{0},陪集 \mathbf{u}+\mathcal{X} 不包含原點,故不為 \mathcal{V} 的子空間。

子空間的陪集

由上圖可知同一個陪集存在許多不同的建構方式,設 \mathbf{v}\neq\mathbf{u},只要 (\mathbf{u}-\mathbf{v})\in\mathcal{X},就有 \mathbf{u}+\mathcal{X}=\mathbf{v}+\mathcal{X}。這個現象讓我們想起同餘 (congruence) 關係:令 n 為一正整數,若二整數 ab 除以 n 所得的餘數相等,也就是 a-bn 整除,我們說 a 同餘於 b 模 (modulo) n,記作

a\equiv b\pmod n

仿造同餘關係,給定一子空間 \mathcal{X},數學家定義出以下二向量 \mathbf{u}\mathbf{v} 之間的等價關係:若 (\mathbf{u}-\mathbf{v})\in\mathcal{X},我們說 \mathbf{u} 等價於 \mathbf{v}\mathcal{X},記為

\mathbf{u}\equiv\mathbf{v}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X})

下面證明 \mathbf{u}\equiv\mathbf{v}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X}) 是一個等價關係 (見“矩陣的等價關係”):

  1. 自身性:\mathbf{u}\equiv\mathbf{u}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X}),因為 \mathbf{u}-\mathbf{u}=\mathbf{0} 屬於 \mathcal{X}
  2. 對稱性:若 \mathbf{u}\equiv\mathbf{v}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X}),則 \mathbf{v}\equiv\mathbf{u}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X})。因為 \mathcal{X}\mathcal{V} 的一子空間,向量 (\mathbf{u}-\mathbf{v}) 屬於 \mathcal{X} 蘊含 (\mathbf{v}-\mathbf{u}) 也屬於 \mathcal{X}
  3. 傳遞性:若 \mathbf{u}\equiv\mathbf{v}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X})\mathbf{v}\equiv\mathbf{w}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X}),則 \mathbf{u}\equiv\mathbf{w}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X})。因為 (\mathbf{u}-\mathbf{v})(\mathbf{v}-\mathbf{w}) 同屬於 \mathcal{X},推論 (\mathbf{u}-\mathbf{w})=(\mathbf{u}-\mathbf{v})+(\mathbf{v}-\mathbf{w}) 也屬於 \mathcal{X}

 
給定一向量 \mathbf{u},陪集 \mathbf{u}+\mathcal{X} 構成一等價類 (equivalence class),令 \mathcal{V}/\mathcal{X} 代表子空間 \mathcal{X} 所有的陪集 (等價類) 所組成的集合,定義下列陪集加法和純量乘法:

\begin{aligned}  (\mathbf{u}+\mathcal{X})+(\mathbf{v}+\mathcal{X})&=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathcal{X}\\    c(\mathbf{u}+\mathcal{X})&=(c\mathbf{u})+\mathcal{X}\end{aligned}

也就是說,\mathbf{u} 的陪集與 \mathbf{v} 的陪集之和等於 (\mathbf{u}+\mathbf{v}) 的陪集,純量 c\mathbf{u} 的陪集之積等於向量 c\mathbf{u} 的陪集。每一個陪集都是等價類,因此存在許多不同的建構方式,我們必須確定上面給出的陪集加法和純量乘法有唯一的結果,亦即若 \mathbf{u}\equiv\mathbf{u}^{\prime}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X})\mathbf{v}\equiv\mathbf{v}^{\prime}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X}),必定有

\begin{aligned}  \mathbf{u}+\mathbf{v}&\equiv(\mathbf{u}^{\prime}+\mathbf{v}^{\prime})\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X})\\    c\mathbf{u}&\equiv c\mathbf{u}^{\prime}\,(\mathrm{mod}~\mathcal{X})\end{aligned}

證明如下:若 \mathbf{u}-\mathbf{u}^{\prime} 屬於 \mathcal{X}\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime} 屬於 \mathcal{X}, 就有 (\mathbf{u}+\mathbf{v})-(\mathbf{u}^{\prime}+\mathbf{v}^{\prime})=(\mathbf{u}-\mathbf{u}^{\prime})+(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime}),故 (\mathbf{u}+\mathbf{v})-(\mathbf{u}^{\prime}+\mathbf{v}^{\prime}) 屬於 \mathcal{X}。若 \mathbf{u}-\mathbf{u}^{\prime} 屬於 \mathcal{X},則 c\mathbf{u}-c\mathbf{u}^{\prime}=c(\mathbf{u}-\mathbf{u}^{\prime}),則 c\mathbf{u}-c\mathbf{u}^{\prime} 也屬於 \mathcal{X}。一旦確定了陪集加法和純量乘法是良好的定義,接著只要查驗它們滿足向量空間的八個公理,即可證明 \mathcal{V}/\mathcal{X} 是一向量空間 (見“同構的向量空間”)。這個工作雖然乏味但並不困難,在此僅提示 \mathcal{V}/\mathcal{X} 的零向量就是 \mathbf{0} 的陪集,\mathbf{0}+\mathcal{X}=\mathcal{X},也就是 \mathcal{X}

 
我們稱向量空間 \mathcal{V}/\mathcal{X} 為商空間,以下是商空間最特殊的性質:商空間 \mathcal{V}/\mathcal{X} 同構於 \mathcal{X} 的每一補子空間 \mathcal{Y}。證明此陳述之前,先要知道向量空間 \mathcal{V}\mathcal{V}/\mathcal{X} 之間存在一個自然的映射關係:對於 \mathbf{u}\in\mathcal{ V},考慮

Q(\mathbf{u})=\mathbf{u}+\mathcal{X}

利用陪集加法和純量乘法可確認 Q 是從 \mathcal{V} 映至 \mathcal{V}/\mathcal{X} 的一個線性變換,稱為商變換 (quotient transformation)。若 \mathbf{u},\mathbf{v} 屬於 \mathcal{V}c 是一純量,可得

\begin{aligned}  Q(\mathbf{u}+\mathbf{v})&=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathcal{X}\\  &=(\mathbf{u}+\mathcal{X})+(\mathbf{v}+\mathcal{X})\\  &=Q(\mathbf{u})+Q(\mathbf{v})\end{aligned}

而且

\begin{aligned}  Q(c\mathbf{u})&=(c\mathbf{u})+\mathcal{X}\\  &=c(\mathbf{u}+\mathcal{X})\\  &=cQ(\mathbf{u})\end{aligned}

根據商空間定義,商變換 Q 的值域即為 \mathcal{V}/\mathcal{X},而 Q 的零空間 (或核) 為 \mathcal{X}。我們可以想像商變換 Q 的具體作為即是將向量空間 \mathcal{V}「坍塌」成 \mathcal{V}/\mathcal{X}

 
欲證明 \mathcal{X} 的任一補子空間 \mathcal{Y} 同構於 \mathcal{V}/\mathcal{X},我們可證明限定於子空間 \mathcal{Y} 的商變換 Q 是同構映射 (isomorphism),即滿射 (onto) 且一對一 (one-to-one)。向量空間 \mathcal{V} 的直和 \mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y} 表示每一 \mathbf{u}\in\mathcal{V} 可唯一分解為 \mathbf{u}=\mathbf{x}+\mathbf{y},其中 \mathbf{x}\in\mathcal{X}\mathbf{y}\in\mathcal{Y}。因為 Q 的零空間等於 \mathcal{X},就有 Q(\mathbf{u})=Q(\mathbf{x}+\mathbf{y})=Q(\mathbf{y}),亦即 \mathbf{u}+\mathcal{X}=\mathbf{y}+\mathcal{X},這表明 Q(\mathcal{Y})=\mathcal{V}/\mathcal{X},也就是說 Q 在子空間 \mathcal{Y} 範圍中是滿射。假設 \mathbf{y}_1,\mathbf{y}_2 屬於 \mathcal{Y}Q(\mathbf{y}_1)=Q(\mathbf{y}_2),就有 Q(\mathbf{y}_1-\mathbf{y}_2)=Q(\mathbf{y}_1)-Q(\mathbf{y}_2)=\mathbf{0},這意味 \mathbf{y}_1-\mathbf{y}_2 屬於 \mathcal{X},但是 \mathbf{y}_1-\mathbf{y}_2 也屬於 \mathcal{Y},由 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\{\mathbf{0}\} 斷定 \mathbf{y}_1-\mathbf{y}_2=\mathbf{0},故 Q\mathcal{Y} 範圍中是一對一。合併以上兩個結果,證得補子空間 \mathcal{Y} 同構於商空間 \mathcal{V}/\mathcal{X}

 
既然 \mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y} 蘊含 \mathcal{V}/\mathcal{X}\mathcal{Y} 同構,可推論

\dim\mathcal{V}=\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}=\dim\mathcal{X}+\dim(\mathcal{V}/\mathcal{X})

這個事實也反映在商變換 Q 的秩—零度定理上,因為 Q 的零空間是 \mathcal{X},值域是 \mathcal{V}/\mathcal{X},故

\mathrm{dim}\mathcal{V}=\mathrm{dim}N(Q)+\mathrm{rank}Q

商變換也提供了商空間基底的產生機制,下文我將舉例說明並探討從一商空間映射至另一個商空間的線性變換。

 
本文參考:
[1] Paul R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, 1974.
[2] Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2nd ed., 1971.

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4 則回應給 商空間 (上)

  1. chao 說道:

    想請教老師,您圖是怎麼做出來的阿?tex編完再存成圖檔?

  2. ccjou 說道:

    土法煉鋼,先繪好ppt(我沒有其他更強的向量繪圖軟體),轉存成jpeg,再用小畫家打開,長寬等比例適當縮小後再另存成png檔,這個步驟很重要,因我發現png檔最不會受縮圖影響變得模糊。
    另外也可以直接使用latex繪圖(下一篇文章會出現),但我只會簡單的,請參考 latex wikibook
    http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Creating_Graphics

    將 latex 指令如
    \xymatrix{
    A \ar[r]^f \ar[d]_g & B \ar[d]^{g’} \\
    D \ar[r]_{f’} & C }
    鍵入以下網址的輸入視窗
    http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

    在底下選擇 HTML(edit) 然後將整個下視窗內容複製直接貼上,你就會看到下圖

    很抱歉!方才我發現這個方法必須於後台編輯器輸入才有效。讀者如欲於迴響區輸入數學式,還是參考貼文的作法較妥。
    https://ccjou.wordpress.com/2010/06/19/%E8%A8%8E%E8%AB%96%E5%8D%80%E5%A6%82%E4%BD%95%E5%BC%B5%E8%B2%BC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%BC%8F%E5%9C%96%E8%A7%A3%E7%89%88/

  3. Paul 說道:

    想請教老師,也許我沒有follow仔細:
    所以若從「子空間的陪集」那張圖來看,V/X是所有水平虛線的集合嗎?還是任一一條水平虛線?

    • ccjou 說道:

      商空間 V/X 是子空間X的所有陪集所成的集合。上圖中,每一條水平虛線代表一陪集,因此V/X即為所有水平虛線的集合。

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