商空間 (下)

本文的閱讀等級:中級

前文“商空間(上)”介紹了商空間的基本概念與性質,簡述於下。設 \mathcal{V} 為一向量空間,\mathcal{X}\mathcal{V} 的一子空間,所有陪集 \mathbf{u}+\mathcal{X}=\{\mathbf{u}+\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathcal{X}\}\mathbf{u}\in\mathcal{V},所構成的集合稱為商空間,記作 \mathcal{V}/\mathcal{X}。商變換 Q 定義為 Q(\mathbf{u})=\mathbf{u}+\mathcal{X},因為 \mathcal{X}Q 的零空間,商變換的主要作用即在將向量空間 \mathcal{V} 坍塌成商空間 \mathcal{V}/\mathcal{X}。透過商變換可以證明商空間最有趣的一個性質:\mathcal{V}/\mathcal{X} 同構於 \mathcal{X} 的每一補空間 \mathcal{Y}。延續前文,我們接著探討如何利用商變換來求得 \mathcal{V}/\mathcal{X} 基底,並介紹與商空間相關的線性變換問題。

 
商變換是商空間基底的生成媒介。令 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m\}\mathcal{V} 的一組基底,其中 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m\}\mathcal{X} 的一組基底,所以 \mathcal{X} 的一補空間 \mathcal{Y} 其基底可為 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}。上文曾經證明限定於子空間 \mathcal{Y} 的商變換 Q 是同構映射,即滿射且一對一,下面我們證明 \{\mathbf{v}_1+\mathcal{X},\ldots,\mathbf{v}_n+\mathcal{X}\} 是商空間 \mathcal{V}/\mathcal{X} 的一組基底。先證明 \{\mathbf{v}_1+\mathcal{X},\ldots,\mathbf{v}_n+\mathcal{X}\} 擴張 \mathcal{V}/\mathcal{X}。設 \mathbf{u}\in\mathcal{V}\mathbf{u} 可唯一表示成

\mathbf{u}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n+d_1\mathbf{x}_1+\cdots+d_m\mathbf{x}_m

將上式代入計算 Q(\mathbf{u}),因為 \mathbf{x}_i\in\mathcal{X}Q(\mathbf{x}_i)=\mathcal{X},即得

\begin{aligned}  \mathbf{u}+\mathcal{X}=Q(\mathbf{u})&=c_1Q(\mathbf{v}_1)+\cdots+c_nQ(\mathbf{v}_n)+d_1Q(\mathbf{x}_1)+\cdots+d_mQ(\mathbf{x}_m)\\  &= c_1Q(\mathbf{v}_1)+\cdots+c_nQ(\mathbf{v}_n)\\  &=c_1(\mathbf{v}_1+\mathcal{X})+\cdots+c_n(\mathbf{v}_n+\mathcal{X})\end{aligned}

\{\mathbf{v}_1+\mathcal{X},\ldots,\mathbf{v}_n+\mathcal{X}\} 擴張 \mathcal{V}/\mathcal{X}。接著證明獨立性,考慮

\begin{aligned}  \mathbf{0}+\mathcal{X}&=c_1(\mathbf{v}_1+\mathcal{X})+\cdots+c_n(\mathbf{v}_n+\mathcal{X})\\  &=(c_1\mathbf{v}_1+\mathcal{X})+\cdots+(c_n\mathbf{v}_n+\mathcal{X})\\  &=(c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n)+\mathcal{X}\end{aligned}

這表示 c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n 屬於零空間 N(Q)=\mathcal{X},就有

c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n=f_1\mathbf{x}_1+\cdots+f_m\mathbf{x}_m

或改寫為

c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n-f_1\mathbf{x}_1-\cdots-f_m\mathbf{x}_m=\mathbf{0}

\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m\}\mathcal{V} 的一組基底,故 c_1=\cdots=c_n=0,證得 \mathbf{v}_1+\mathcal{X},\ldots,\mathbf{v}_n+\mathcal{X} 是線性獨立的。

 
下面我們研究商空間於一般線性變換的作用。令 \mathcal{V}\mathcal{W} 為佈於相同數系的二向量空間。設 T 是任一從 \mathcal{V} 映至 \mathcal{W} 的線性變換,在不失一般性的原則下,假設 T 是滿射,即 \mathrm{range}(T)=\mathcal{W}。考慮商空間 \mathcal{V}/N(T),對應的商變換為 Q(\mathbf{u})=\mathbf{u}+N(T),其中 \mathbf{u}\in\mathcal{V}。對於 \mathcal{V}/N(T) 中任一陪集 (\mathbf{u}+N(T)),定義以下誘生變換 (induced transformation)

\overline{T}(\mathbf{u}+N(T))=T(\mathbf{u})

因為 \mathcal{V}/N(T) 扮演了 N(T) 的補空間角色,T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 可分解成坍塌零空間 N(T) 的商變換 Q:\mathcal{V}\to\mathcal{V}/N(T) 和實際執行映射工作的誘生變換 \overline{T}:\mathcal{V}/N(T)\to\mathcal{W} 的合成變換,見下圖:

商空間1

 
誘生變換 \overline{T} 的性質如下。

(1) \overline{T} 定義良好,也就是對於同一陪集的不同表達方式 \mathbf{u}+N(T)=\mathbf{u}^{\prime}+N(T),必有 T(\mathbf{u})=T(\mathbf{u}^{\prime})。由陪集等價關係 \mathbf{u}+N(T)=\mathbf{u}^{\prime}+N(T) 得知 (\mathbf{u}-\mathbf{u}^{\prime})\in N(T),此情況僅發生於 T(\mathbf{u}-\mathbf{u}^{\prime})=T(\mathbf{u})-T(\mathbf{u}^{\prime})=\mathbf{0},不僅證得原命題,同時還推論出 \overline{T} 是一對一映射。

(2) \overline{T} 是一線性變換,且 \mathrm{range}(\overline{T})=\mathcal{W}。因為 \overline{T} 誘生於 T,所以繼承 T 是滿射線性變換性質。

(3) 商空間 \mathcal{V}/N(T)\mathcal{W} 同構。合併 (1) 和 (2) 結果,即知 \overline{T}:\mathcal{V}/N(T)\to\mathcal{W} 是同構映射。

(4) 僅存在唯一的 \overline{T} 使得 T=\overline{T}\circ Q。假設 \overline{T}^{\prime} 使得 \overline{T}^{\prime}\circ Q=T=\overline{T}\circ Q,則對於所有 \mathbf{u}\in\mathcal{V}\overline{T}^{\prime}\circ Q(\mathbf{u})=\overline{T}\circ Q(\mathbf{u}),即 \overline{T}^{\prime}(\mathbf{u}+N(T))=\overline{T}(\mathbf{u}+N(T)),因為 Q 滿射,所以 \overline{T}^{\prime}=\overline{T}

 
下面是誘生變換的例子。設 T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 為一線性變換,參考標準基底的表示矩陣為

[T]=\begin{bmatrix}    1&2&4\\    1&2&5    \end{bmatrix}

解出零空間 N(T)=\mathrm{span}\{\mathbf{x}\}\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r}    -2\\    1\\    0    \end{array}\!\!\right]。令 \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\mathbb{R}^3 的標準單位向量,且 \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_3,\mathbf{x}\}\mathbb{R}^3 的一組新基底,設商空間 \mathbb{R}^3/N(T) 的基底為 \mathfrak{B}_1=\{\mathbf{e}_1+N(T),\mathbf{e}_3+N(T)\}。定義誘生變換 \overline{T}(\mathbf{u}+N(T))=T(\mathbf{u}),計算基底向量的像:

\begin{aligned}  \overline{T}(\mathbf{e}_1+N(T))&=T(\mathbf{e}_1)=\begin{bmatrix}    1\\    1    \end{bmatrix}\\    \overline{T}(\mathbf{e}_3+N(T))&=T(\mathbf{e}_3)=\begin{bmatrix}    4\\    5    \end{bmatrix}\end{aligned}

\mathfrak{B}_{2}=\{\mathbf{e}_1^{\prime},\mathbf{e}_2^{\prime}\}\mathbb{R}^2 基底,\mathbf{e}_i^{\prime} 代表標準單位向量。誘生變換 \overline{T} 參考基底 \mathfrak{B}_{1}-\mathfrak{B}_{2} 的表示矩陣為

\begin{aligned}  _{\mathfrak{B}_2}[\overline{T}]_{\mathfrak{B}_1}&=\begin{bmatrix}    ~&~\\    [\overline{T}(\mathbf{e}_1+N(T))]_{\mathfrak{B}_{2}}&[\overline{T}(\mathbf{e}_3+N(T))]_{\mathfrak{B}_{2}}\\    ~&~    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    1&4\\    1&5    \end{bmatrix}\end{aligned}

結果顯示 ~_{\mathfrak{B}_2}[\overline{T}]_{\mathfrak{B}_1} 可逆,也就是同構映射。

 
最後我們回答這個問題:若商空間由線性變換的不變子空間構成,那會產生什麼效果?設 T 為定義於向量空間 \mathcal{V} 的一線性算子,\mathcal{X} 為線性變換 T 的一不變子空間,T(\mathcal{X})\subseteq\mathcal{X} (見“從不變子空間切入特徵值問題”)。定義誘生算子 \overline{T}:\mathcal{V}/\mathcal{X}\to\mathcal{V}/\mathcal{X},對於 (\mathbf{u}+\mathcal{X})\in\mathcal{V}/\mathcal{X}

\overline{T}(\mathbf{u}+\mathcal{X})=T(\mathbf{u})+\mathcal{X}

以下陳述誘生算子的一些性質。

(1) \overline{T} 定義良好,亦即對於 \mathbf{u}+\mathcal{X}=\mathbf{u}^{\prime}+\mathcal{X},有 \overline{T}(\mathbf{u}+\mathcal{X})=\overline{T}(\mathbf{u}^{\prime}+\mathcal{X})。推論過程如下:由 \mathbf{u}+\mathcal{X}=\mathbf{u}^{\prime}+\mathcal{X} 得知 (\mathbf{u}-\mathbf{u}^{\prime})\in\mathcal{X},但 \mathcal{X} 是不變子空間,就有 T(\mathbf{u}-\mathbf{u}^{\prime})=T(\mathbf{u})-T(\mathbf{u}^{\prime})\in\mathcal{X},因此 T(\mathbf{u})+\mathcal{X}=T(\mathbf{u}^{\prime})+\mathcal{X}

(2) \overline{T} 是一定義於 \mathcal{V}/\mathcal{X} 的線性算子。直接計算檢查,設 \mathbf{u},\mathbf{w}\in\mathcal{V}

\begin{aligned}  \overline{T}((\mathbf{u}+\mathcal{X})+(\mathbf{w}+\mathcal{X}))&=\overline{T}((\mathbf{u}+\mathbf{w})+\mathcal{X})={T}(\mathbf{u}+\mathbf{w})+\mathcal{X}\\  &={T}(\mathbf{u})+T(\mathbf{w})+\mathcal{X}=(T(\mathbf{u})+\mathcal{X})+(T(\mathbf{w})+\mathcal{X})\\  &=\overline{T}(\mathbf{u}+\mathcal{X})+\overline{T}(\mathbf{w}+\mathcal{X})\end{aligned}

對於任一純量 c

\begin{aligned}  \overline{T}(c(\mathbf{u}+\mathcal{X}))&=\overline{T}((c\mathbf{u})+\mathcal{X})={T}(c\mathbf{u})+\mathcal{X}\\  &=cT(\mathbf{u})+\mathcal{X}=c(T(\mathbf{u})+\mathcal{X})\\  &=c\overline{T}(\mathbf{u}+\mathcal{X}))\end{aligned}

(3) 令商變換 Q:\mathcal{V}\to\mathcal{V}/\mathcal{X}Q(\mathbf{u})=\mathbf{u}+\mathcal{X},就有 \overline{T}\circ Q=Q\circ{T},見下圖:

商空間2

比較等號兩邊結果即可證明,對於 \mathbf{u}\in\mathcal{V}

\begin{aligned}  \overline{T}\circ Q(\mathbf{u})&=\overline{T}(\mathbf{u}+\mathcal{X})=T(\mathbf{u})+\mathcal{X}\end{aligned}

而且

\begin{aligned}  Q\circ{T}(\mathbf{u})&=Q(T(\mathbf{u}))=T(\mathbf{u})+\mathcal{X}\end{aligned}

 
再看下面這個例子,

A=\left[\!\!\begin{array}{rrr}    4&2&1\\    -3&-1&-2\\    2&2&4    \end{array}\!\!\right]

給定一不變子空間 \mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}\},其中 \mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r}    1\\    -1\\    0    \end{array}\!\!\right],計算

\begin{aligned}  A\mathbf{x}&=\left[\!\!\begin{array}{r}    2\\    -2\\    0    \end{array}\!\!\right]=2\mathbf{x}\in\mathcal{X}\end{aligned}

A 有一特徵值 2\mathbf{x} 是對應的特徵向量,\mathcal{X} 即為特徵空間 N(A-2I)。考慮 \mathbb{R}^3 基底 \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_3,\mathbf{x}\},由此可得 \mathbb{R}^3/\mathcal{X} 的一組有序基底 \mathfrak{B}=\{\mathbf{e}_1+\mathcal{X},\mathbf{e}_3+\mathcal{X}\}。令誘生算子為 \overline{A}(\mathbf{u}+\mathcal{X})=A\mathbf{u}+\mathcal{X},計算 \overline{A}(\mathbf{e}_1+\mathcal{X}) 並表示為基底向量組合:

\begin{aligned}  \overline{A}(\mathbf{e}_1+\mathcal{X})&=\left[\!\!\begin{array}{r}    4\\    -3\\    2    \end{array}\!\!\right]+\mathcal{X}=a\left(\begin{bmatrix}    1\\    0\\    0    \end{bmatrix}+\mathcal{X}\right)+b\left(\begin{bmatrix}    0\\    0\\    1    \end{bmatrix}+\mathcal{X}\right)\end{aligned}

上式等價於

\left[\!\!\begin{array}{r}    4\\    -3\\    2    \end{array}\!\!\right]=a\begin{bmatrix}    1\\    0\\    0    \end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}    0\\    0\\    1    \end{bmatrix}+k\left[\!\!\begin{array}{r}    1\\    -1\\    0    \end{array}\!\!\right]

解出 k=3a=1b=2。同樣地,

\begin{aligned}  \overline{A}(\mathbf{e}_3+\mathcal{X})&=\left[\!\!\begin{array}{r}    1\\    -2\\    4    \end{array}\!\!\right]+\mathcal{X}=c\left(\begin{bmatrix}    1\\    0\\    0    \end{bmatrix}+\mathcal{X}\right)+d\left(\begin{bmatrix}    0\\    0\\    1    \end{bmatrix}+\mathcal{X}\right)\end{aligned}

上式即為

\left[\!\!\begin{array}{r}    1\\    -2\\    4    \end{array}\!\!\right]=c\begin{bmatrix}    1\\    0\\    0    \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}    0\\    0\\    1    \end{bmatrix}+k\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\    -1\\    0    \end{array}\!\!\right]

解出 k=2c=-1d=4。所以誘生算子 \overline{A} 參考基底 \mathfrak{B} 的表示矩陣是

\begin{bmatrix}  \overline{A}\end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}=\left[\!\!\begin{array}{cr}    1&-1\\    2&4    \end{array}\!\!\right]

 
上例中,A 的特徵值為 2,2,3,不變子空間 \mathcal{X} 即對應特徵值 2 的特徵空間 N(A-2I),而誘生算子 \overline{A} 的特徵值是 2, 3。這個結果並不令人訝異,原因是誘生算子 \overline{A} 正是線性算子 A 限定於商空間 \mathbb{R}^3/N(A-2I) (同構於 N(A-2I) 的每一補空間) 的限定算子,所以 \overline{A} 的特徵值等於 A 的所有特徵值扣除不變子空間 \mathcal{X} 所對應的特徵值。

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2 則回應給 商空間 (下)

  1. levinc 說道:

    中間(2)\bar{T} 是一定義於 \nu / \chi 的線性算子。那邊第七行:
    \bar{T}(u + \chi) +\bar{T}(u + \chi) 後面是不是 (w + \chi) 才對? 還有 \bar{A}(e_1 + \chi) 那邊運算似乎多冒出個 c? 兩個小typo…

  2. ccjou 說道:

    非常感謝levinc指出錯誤!隨即將它們都訂正了。
    在迴響裡,兩個$號中間的數學公式最好不要有空格,若要區隔指令與變數可以使用{},例如,\det{A},我發現空格常無法通過 formula paser。

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