利用分塊矩陣證明 Hadamard 不等式

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分塊矩陣是矩陣理論的一項基本操作技巧。本文介紹如何利用分塊矩陣來證明 Hadamard 不等式 (見“Hadamard不等式”),內容包含三部分:先探討正定分塊矩陣的充分必要條件,再說明正定分塊矩陣的行列式與主對角分塊的行列式關係,最後運用此關係證明 Hadamard 不等式。

 
考慮 (m+n)\times(m+n) 階 Hermitian 分塊矩陣

\begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix}

其中 AC 分別是 m\times m 階 和 n\times n 階 Hermitian,Bm\times n 階。利用相合變換將 Hermitian 矩陣分塊對角化,

\begin{bmatrix}  I_m&0\\  X^{\ast}&I_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I_m&X\\  0&I_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  Y&0\\  0&Z  \end{bmatrix}

展開可得

\begin{bmatrix}  A&AX+B\\  (AX+B)^{\ast}&X^{\ast}(AX+B)+B^{\ast}X+C  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  Y&0\\  0&Z  \end{bmatrix}

比較上式等號兩邊即解出 X=-A^{-1}BY=AZ=C-B^{\ast}A^{-1}B,分塊 Z 也稱為 A 的 Schur 互補 (complement),所以

\begin{bmatrix}  I_m&0\\  -B^{\ast}A^{-1}&I_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I_m&-A^{-1}B\\  0&I_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A&0\\  0&C-B^{\ast}A^{-1}B  \end{bmatrix}

因為 \begin{bmatrix}  I_m&-A^{-1}B\\  0&I_n  \end{bmatrix} 可逆,根據 Sylvester 慣性定律 (見“相合變換”),\begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A&0\\  0&C-B^{\ast}A^{-1}B  \end{bmatrix} 有相同的慣性,也就是相同的正、負及零特徵值個數。因此若 \begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix} 是正定矩陣,則 \begin{bmatrix}  A&0\\  0&C-B^{\ast}A^{-1}B  \end{bmatrix} 也是正定,推論主對角分塊 AC-B^{\ast}A^{-1}B 皆為正定 (見“正定矩陣的性質與判別方法”)。以下我們以 A\succ 0 代表 A 正定,C\succ B^{\ast}A^{-1}B 代表 C-B^{\ast}A^{-1}B\succ 0,並隱含 C\succ 0B^{\ast}A^{-1}B\succcurlyeq 0,即 B^{\ast}A^{-1}B 半正定 (見“半正定矩陣的偏序關係”)。

 
再看反方向陳述。若 A\succ 0C\succ B^{\ast}A^{-1}B\succcurlyeq 0,對於任意非零向量 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^m\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n,就有

\begin{bmatrix}  \mathbf{x}^{\ast}&\mathbf{y}^{\ast}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A&0\\  0&C-B^{\ast}A^{-1}B  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}=\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}+\mathbf{y}^{\ast}(C-B^{\ast}A^{-1}B)\mathbf{y}>0

這表明 \begin{bmatrix}  A&0\\  0&C-B^{\ast}A^{-1}B  \end{bmatrix}\succ 0,由相合關係推知 \begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix}\succ 0

 
分塊正定矩陣的充要條件

AC 為複方陣,

\begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix}\succ 0~~~\Leftrightarrow~~~A\succ 0, ~C\succ B^{\ast}A^{-1}B

上述推導過程中,若將 \begin{bmatrix}  I&0\\  X^{\ast}&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&X\\  0&I  \end{bmatrix} 取代,\begin{bmatrix}  I&X\\  0&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&0\\  X^{\ast}&I  \end{bmatrix} 取代,重複同樣的推導過程即可得

\begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix}\succ 0~~~\Leftrightarrow~~~C\succ 0, ~A\succ BC^{-1}B^{\ast}

這個工作就留給讀者當作練習。

 
接著我們計算正定分塊矩陣的行列式。因為 \begin{vmatrix}  I&0\\  X^{\ast}&I  \end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}  I&X\\  0&I  \end{vmatrix}=1,由上述相合變換可知

\begin{aligned} \begin{vmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}  I_m&0\\  -B^{\ast}A^{-1}&I_n  \end{vmatrix}\begin{vmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{vmatrix}\begin{vmatrix}  I_m&-A^{-1}B\\  0&I_n  \end{vmatrix}\\  &=\begin{vmatrix}  A&0\\  0&C-B^{\ast}A^{-1}B  \end{vmatrix}\\  &=(\det A)\det(C-B^{\ast}A^{-1}B).\end{aligned}

因為 B^{\ast}A^{-1}B=C-(C-B^{\ast}A^{-1}B)B^{\ast}A^{-1}B\succcurlyeq 0,就有 C\succcurlyeq C-B^{\ast}A^{-1}B\succcurlyeq 0,根據單調性質, \det C\ge\det(C-B^{\ast}A^{-1}B) (見“半正定矩陣的偏序關係”),等號發生於 B=0,將此結果代回正定分塊行列式算式即得到 Fischer 不等式。

 
Fischer 不等式

AC 為方陣,若 \begin{bmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{bmatrix}\succ 0,則

\begin{vmatrix}  A&B\\  B^{\ast}&C  \end{vmatrix}\le(\det A)(\det C)

等號僅於 B=0 時成立。

 
利用 Fischer 不等式很容易證得 Hadamard 不等式:設 A=[a_{ij}]n\times n 階 Hermitian 矩陣,若 A\succcurlyeq 0,則

\det A\le\displaystyle\prod_{i=1}^n{a}_{ii}

A 不可逆時,不等式自然成立。以下考慮 A\succ 0,使用歸納法,將正定矩陣 A 表示為分塊形式 A=\begin{bmatrix}  A_{11}&A_{12}\\  A_{21}&A_{22}  \end{bmatrix},其中 A_{11}=a_{11}A_{22}(n-1)\times(n-1) 階,就有 a_{11}>0\det A_{22}>0,Fischer 不等式給出

\det A\le a_{11}(\det A_{22})

A_{12}=0,等號成立。繼續對 A_{22} 執行上述步驟,可歸納原命題成立,並得知所有步驟等號皆成立的條件為 A 是一對角矩陣。

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