線性方程解的存在性與唯一性

本文的閱讀等級:初級

給定一 m\times n 階矩陣 A,對於任意 m 維非零向量 \mathbf{b},如何判斷 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 是否存在解?倘若有解,又有多少組解?線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的解存在與否和 A 的行空間及 \mathbf{b} 向量有關,解的唯一性則和 A 的零空間有關。我們先討論唯一性問題,見下列定理。

 
唯一性定理A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有唯一解 (若解存在) 當且僅當 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 有唯一解 \mathbf{x}=\mathbf{0}

換句話說,若矩陣 A 的零空間 N(A) 僅含零向量,則 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有唯一解,反之亦然。證明於下。假設 \mathbf{x}_h\neq\mathbf{0} 使得 A\mathbf{x}_h=\mathbf{0}。若 A\mathbf{x}_p=\mathbf{b}\mathbf{x}_p 稱為特解 (special solution),則 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有通解 (general solution) \mathbf{x}=\mathbf{x}_p+c\mathbf{x}_hc 為任意純量,因為

\begin{aligned}  A\mathbf{x}&=A(\mathbf{x}_p+c\mathbf{x}_h)=A\mathbf{x}_p+cA\mathbf{x}_h=\mathbf{b}\end{aligned}

這說明 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有無窮多組解。相反的,如果 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有相異解,設 \mathbf{x}_1\neq\mathbf{x}_2 滿足 A\mathbf{x}_1=\mathbf{b}A\mathbf{x}_2=\mathbf{b},就有

\begin{aligned}  A(\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2)&=A\mathbf{x}_1-A\mathbf{x}_2=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0}\end{aligned}

A\mathbf{x}=\mathbf{0} 有非零解 (\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2),也就證得原命題。另外,欲進一步了解此定理的幾何觀點,請參閱“Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係?”。

 
矩陣向量乘積 A\mathbf{x} 可表示為 A 的行向量線性組合,如下:

\begin{aligned}  A\mathbf{x}&=\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    x_1\\    \vdots\\    x_n    \end{bmatrix}=x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n\end{aligned}

由此得知惟有當 \mathbf{b} 屬於 A 的行空間 C(A)A\mathbf{x}=\mathbf{b} 才存在解。下面我介紹另一個等價檢查方法,稱作 Fredholm 二擇一定理 (alternative theorem),它的基本原理建立在行空間 C(A) 的正交補餘,即 C(A)^{\perp}=N(A^T) (見“線性代數基本定理(二)”,“正交補餘與投影定理”)。以下考慮實矩陣 A,如欲推廣至複矩陣,僅需將 (\cdot)^T 替換為共軛轉置 (\cdot)^{\ast}

 
存在性定理(Fredholm 二擇一定理)A\mathbf{x}=\mathbf{b} 存在解,當且僅當 \mathbf{b}^T\mathbf{y}=0,其中 \mathbf{y} 為滿足 A^T\mathbf{y}=\mathbf{0} 的任何向量。

換一個說法:若 \mathbf{b} 正交於左零空間 N(A^T),則 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有解,反之亦然。證明於下。若 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 不存在解,亦即 \mathbf{b} 不屬於 C(A),利用直和性質 \mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^T)m 維向量 \mathbf{b} 可唯一表示成 \mathbf{b}=\mathbf{v}+\mathbf{y},其中 \mathbf{v}\in C(A)\mathbf{y}\in N(A^T)\mathbf{y}\neq\mathbf{0} (否則 \mathbf{b} 屬於 C(A)),再利用正交性質 C(A)\perp N(A^T),可得

\begin{aligned}  \mathbf{b}^T\mathbf{y}&=(\mathbf{v}+\mathbf{y})^T\mathbf{y}=\mathbf{v}^T\mathbf{y}+\mathbf{y}^T\mathbf{y}=0+\Vert\mathbf{y}\Vert^2\neq 0\end{aligned}

另一方面,若 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 至少有一解 \mathbf{x},對於任意 \mathbf{y} 滿足 A^T\mathbf{y}=\mathbf{0},即有

\begin{aligned}  \mathbf{b}^T\mathbf{y}&=(A\mathbf{x})^T\mathbf{y}=\mathbf{x}^T(A^T\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{0}=0\end{aligned}

因此得證。

 
給定一 m\times n 階矩陣 A,對任意 m 維向量 \mathbf{b}A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的解可能有哪些形式?透過解析 A 的簡約列梯形式,我們可以完整地回答此問題,詳細討論請見“由簡約列梯形式判斷線性方程解的結構”。

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