每週問題 June 27, 2011

本週問題是利用最小多項式解矩陣方程。

Find all the 2\times 2 matrices A such that A^2-3A+2I=0.

 
參考解答:

由給出條件可知 p(t)=t^2-3t+2 = (t-1)(t-2)A 的一個消滅多項式 (annihilating polynomial),所以 A 的最小多項式 (minimal polynomial) 有以下三種可能:
(a) m(t) = t - 1,則 m(A) = A - I = 0,可得 A = I
(b) m(t) = t - 2,則 m(A) = A - 2I = 0,可得 A = 2I
(c) m(t) = (t - 1)(t - 2),則 A 的特徵多項式為 m(t) = (t - 1)(t - 2)。因為 A 有相異特徵值,A 具有下列對角化形式:

A=P\begin{bmatrix}  1&0\\  0&2  \end{bmatrix}P^{-1}

其中 P 是任意可逆矩陣。

PowSol-June-27-11

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