爲何向量空間沒有向量乘法運算?

\mathbf{x}=(x_1,x_2)^T\mathbf{y}=(y_1,y_2)^T 屬於 \mathbb{R}^2 空間,我們知道向量具有加法運算,令對應各元相加,即

\mathbf{x}+\mathbf{y}=\begin{bmatrix}    x_1\\    x_2    \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}    y_1\\    y_2    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    x_1+y_1\\    x_2+y_2    \end{bmatrix}

讀者是否想過這個問題:向量空間為何不也定義一個向量乘法運算?如下:

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\begin{bmatrix}    x_1\\    x_2    \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}    y_1\\    y_2    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    x_1\cdot y_1\\    x_2\cdot y_2    \end{bmatrix}

數學家的回答是:行不通!我們允許向量各元相加,卻不接受向量各元相乘。兩向量相乘得到一向量有什麼不好?是因為這個向量乘法運算沒有實際用途,還是另有其他原因?歡迎讀者朋友提供想法,或分享曾經閱聽那本書或那位老師的見解。

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7 則回應給 爲何向量空間沒有向量乘法運算?

  1. Mason 說道:

    以下存粹是個人瞎掰:
    如果A向量(x1,y1)乘常數5,那A’=A向量 x 5 可以推測A’有A的元素在
    如有一B向量(x2,y2) 若A,B向量相乘是指x1*x2,y1*y2
    新出來的x’ & y’ 可能找不到A or B 的元素在
    也可以說直接乘得到的值跟父項的向量一點關係也沒有

  2. levinc 說道:

    不知老師是不是在指Hadamard product (element-by-element product/pointwise product/direct product)? A\odot B = C, 其中 c_{ij} = a_{ij}b_{ij}。 另外,Kronecker product也是一種向量乘積。
    (and the Hadamard product is a principal submatrix of the Kronecker product.)

  3. ccjou 說道:

    Mason 說直接乘得到的值跟父項的向量一點關係也沒有,這個關係不是很清楚,但或許我們可以從運算是否能夠回復(undo)這點來思考,例如,z=x+y,若想從 z 回復得回 x,可以計算 z+(-y)=x

    levinc 說的 Hadamard product 是一種矩陣乘法,若矩陣是 nx1 階,Hadamard product 就是我在問題中說的向量乘法,不過 Hadamard product 並不是一般向量空間中定義的運算,為什麼向量空間只有向量加法和純量乘法兩種運算?

  4. levinc 說道:

    “不過 Hadamard product 並不是一般向量空間中定義的運算"? 老師我不太明白您所說的意思耶? 既然當矩陣是 nx1 階就是您所指的意思,為什麼放大維度就不是了?
    (抱歉,怪怪的,不太會問…) 是否可視 Hadamard product為為向量乘法提供一種運算詮釋?

  5. ccjou 說道:

    向量空間可以是 \mathbb{R}^2,多項式向量空間 \mathcal{P}=\{ax^2+bx+c\vert a,b,c\in\mathbb{R}\}m\times n 階矩陣,等等,向量空間的定義包含(1)一個數域(field)(2)向量(3)向量加法運算及規則(4)純量乘法運算及規則。矩陣的 Hadamard product 並不被當作是向量空間定義包含的運算,所以我們也可以問:為什麼不將 Hadamard product 放入矩陣形成的向量空間定義中?

  6. levinc 說道:

    嗯嗯~~我了解老師的意思了。曾經也對沒有向量乘法運算有過疑惑,不過因為是"定義",而沒有再進一步思考,這的確是個很有趣的問題呢~~
    既然向量空間已不定義向量乘法運算,又為何再出現一個Hadamard product 這種東西?(難道純粹為矩陣運算方便而補充? XD) 又為什麼不將 Hadamard product 放入矩陣形成的向量空間定義中? 哈,有趣有趣…!

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