行空間與零空間的互換表達

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對於一 階實矩陣 ，行空間 (column space) 乃 的行向量於 中擴張而成的子空間：

零空間 (nullspace) 則是齊次方程 所有解形成的一個屬於 的子空間：

在一般情況下，矩陣行空間採用明確的 (explicit) 建構式 (即擴張) 定義，而零空間則以隱含的 (implicit) 限制條件 (即線性方程組) 來定義。本文探討如何運用簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 解決下面兩個子空間互換表達問題：給定 ，將零空間 表示成明確的向量集擴張，也就是說，求矩陣 使得 ；另一方面，行空間 也可以表示為隱含的限制條件，亦即求矩陣 使得 。

 
考慮下面的 階矩陣

運用高斯消去法化簡 得到簡約列梯形式：

消去法所執行的基本列運算不改變方程式的解，故 等價於 ，亦即 和 有相同的零空間。觀察得知 所對應的齊次方程式為

我們稱等號左邊的 ，， 為軸變數，等號右邊的 和 為自由變數。每個軸變數都被一個方程式鎖定，自由變數則不受方程式控制，故可設 ，，齊次方程 的完整解則表示為兩個特解的線性組合：

也就是說，。由於每一特解對應一自由變數，所有特解構成一線性獨立集。將 和 合併為一矩陣：

因此 ， 的零空間即為 的行空間，，我們稱 是 的零空間矩陣 (nullspace matrix)。由簡約列梯形式 可以得到以下訊息：列數即方程式的總數 ()，行數即變數個數 ()，軸變數個數 ()，和自由變數個數 ()，即知 為一 階矩陣。矩陣 的「表面尺寸」由其列數 和行數 決定，但其「真實尺寸」則由軸數 決定，因為每個軸列對應一個實際有效的式子，從而鎖定該軸行所對應的變數。所以我們定義矩陣秩 為軸的總數，亦即軸列、軸行的個數 (見“你不能不知道的矩陣秩”)。

 
以上零空間矩陣 的推導過程還可以加以簡化。若不考慮 的零列與 的自由變數列， 的非軸行 (即第 ， 行) 恰好對應 的兩個行，惟其正負符號相反。令 的軸行置於最左邊， 對應自由變數的列置於最底下，就有以下分塊矩陣形式：

其中 是 階分塊。矩陣 的每一行都屬於 的零空間，就有

直接計算分塊矩陣乘法也可以得到同樣的結果，

以分塊形式表現簡約列梯形式的好處是不需要經過解齊次方程 過程，直接從 的形式立即可推得零空間矩陣 。

 
這裡補充 的證明。因為任一 維向量 使得 ，可知 。另一方面，假設 ，即 。寫出 ，其中 與 分別是 維與 維向量，則

，

即得 。所以，，證明 。

 
最後我們回答第二個問題：給定矩陣 ，如何得到 使得 ？根據正交補餘關係 (見“線性代數基本定理(二)”)，解出 矩陣的關鍵在於 的零空間矩陣，設為 ，就有 。再利用 ，可得

上式表明所求矩陣即為 。另一個想法直接從 下手，取轉置即得 ，問題因此轉換為計算 的零空間矩陣 。考慮上例矩陣 ，將 化簡成簡約列梯形式：

即知 的零空間矩陣：

也就得到

欲使 有解， 必須在 的行空間，換句話說， 滿足

因為零空間矩陣 有獨立行向量，可知 階 矩陣有線性獨立的列向量，故 。另外，，由秩—零度定理 ， 即得 。

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