想像力比知識更重要

本文的閱讀等級:初級

愛因斯坦 (Albert Einstein) 說:

想像力比知識更重要,因為知識是有限的,而想像力概括著世界上的一切,推動著進步,並且是知識進步的源泉。嚴格地說,想像力是科學研究的實在因素。提出一個問題往往比解決一個更重要。因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已,而提出新的問題,卻需要有創造性的想像力,而且標誌著科學的真正進步。

 
線性代數教本塞滿了定義、定理、證明和演算法,這麼講究嚴謹推理的學科還有想像力發揮的空間嗎?看下面這個問題 (取自2008年台大電機所碩士班入學試題):假設矩陣

\left[\begin{array}{ccccc} 1&2&3&1&b\\ 2&5&3&a&0\\1&0&8&6&c \end{array}\right]

經過基本列運算 (elementary row operation) 化為以下簡約列梯形式 (reduced row echelon form):

\left[\begin{array}{cccrr} 1&0&0&-2&0\\ 0&1&0&d&-1\\ 0&0&1&1&e \end{array}\right]

a,b,c,d,e。讀者不妨先花個幾分鐘想想看該怎麼做,然後再閱讀我於2008年撰寫的解答 (見“台清交研究所試題及解答”)。

 
假如我們根據題意,對給出的矩陣執行一連串的列運算,化簡至簡約列梯形式後再解出 5 個變數,很快便會發覺這個計算程序將占據整張紙:

\begin{aligned}\begin{bmatrix} 1&2&3&1&b\\ 2&5&3&a&0\\ 1&0&8&6&c \end{bmatrix}&\to\left[\!\!\begin{array}{ccrcr} 1&2&3&1&b\\ 0&1&-3&a-2&-2b\\ 1&0&8&6&c \end{array}\!\!\right]\\ &\to\cdots\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{cccrr} 1&0&0&-2&0\\ 0&1&0&d&-1\\ 0&0&1&1&e \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

想像力是將我們從繁瑣計算中解救出來的法寶。想像最初給定的矩陣是一個增廣矩陣,目的在解係數矩陣相同的兩個方程式,即

\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8 \end{bmatrix}\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1\\ a\\ 6 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8 \end{bmatrix}\mathbf{y}=\begin{bmatrix} b\\ 0\\ c \end{bmatrix}

繼續想像於一番努力之後,化簡得到上述簡約列梯形式,而其中的最右二行 (column) 即為其解,分別是

\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r} -2\\ d\\ 1 \end{array}\!\!\right],~\mathbf{y}=\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ -1\\ e \end{array}\!\!\right]

\mathbf{x}\mathbf{y} 代回原方程式,可得

\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8 \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r} -2\\ d\\ 1 \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} 1\\ a\\ 6 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8 \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ -1\\ e \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} b\\ 0\\ c \end{bmatrix}

由第一個方程式立知 d=0a=-1,第二個方程式解出 e=5/3b=3c=40/3

 
為何我們順服地聽命問題下達的指示去執行基本列運算呢?想像力的培養需要一點叛逆的精神和獨立思考的習慣。邱吉爾說的傳神:「沒有獨立思考,就像留著別人屁股印的坐墊。」如果不會獨立思考,學習與複印其實沒有什麼兩樣。下次當我們正準備動手做苦工時,先停下來想想:事情真的只能這麼蠻幹,難道就沒有其他更好的法子嗎?

 
附註:
我們也可以利用列運算不改變行向量之間的線性組合關係來解題 (見左乘還是右乘,這就是問題所在)。令 A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_5 \end{bmatrix} 表示原矩陣。從 A 的簡約列梯形式的末二行可讀出

\begin{aligned} \mathbf{a}_4&=-2\mathbf{a}_1+d\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3,\\ \mathbf{a}_5&=-\mathbf{a}_2+e\mathbf{a}_3.\end{aligned}

代入數值,可得

\displaystyle\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1\\ a\\ 6 \end{bmatrix}&=-2\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} 2\\ 5\\ 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\\ 3\\8 \end{bmatrix},\\ \begin{bmatrix} b\\ 0\\ c \end{bmatrix}&=-\begin{bmatrix} 2\\ 5\\ 0 \end{bmatrix}+e\begin{bmatrix} 3\\ 3\\8 \end{bmatrix}.\end{aligned}

另一個方法是直接運用列等價關係計算。因為 A 列等價於 R (即簡約列梯形式),存在一 3\times 3 階可逆矩陣 E 使得 ER=A,觀察得知 E 即為 A3\times 3 階左分塊。寫出

\displaystyle \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8 \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cccrr} 1&0&0&-2&0\\ 0&1&0&d&-1\\ 0&0&1&1&e \end{array}\!\!\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 1&2&3&1&b\\ 2&5&3&a&0\\1&0&8&6&c \end{array}\right]

利用以「行」為矩陣乘法的運算單元即可解得 a,b,c,d,e

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3 則回應給 想像力比知識更重要

  1. Watt Lin 說道:

    老師這篇文章,有很大的啟發。
    遇到大型工作,真的應該先想想變通方法,以免一頭栽進泥淖,耗費大量時間處理繁雜事務。
    希望把這個觀念,應用在平常的工作當中,找到更有效率的處理方式。
    謝謝老師!

  2. VtripleV 說道:

    這題用列運算不改變行關係來看,好像就省很多運算了
    [1 a 6]=-2*[1 2 1]+d*[2 5 0]+[3 3 8]

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