每週問題 August 29, 2011

這是利用特徵值證明行列式和跡數的問題。

Pow-August-29-11

參考解答

PowSol-August-29-11

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7 則回應給 每週問題 August 29, 2011

  1. levinc 說道:

    這個問題似乎能延伸為一般化A,B是nxn, n=2,3,…?

  2. levinc 說道:

    20分鐘的努力,好像推不出一般化結果,我放棄…orz|||

  3. ccjou 說道:

    很有趣的想法。如果 A 和 B 都是 2×2 矩陣,那麼 AB-BA 的行列式和trace會有什麼關係呢?

  4. levinc 說道:

    原先猜測是因為觀察到A,B都是3×3實方陣,欲求等式右邊分母與次方項也是3,所以才猜是不是可能有一般化式子。
    起初猜測式子為: n*det(.)=(-1)^{n-1}trace(.)^n。 所以我去check,
    n*(a1a2…an)=(-1)^{n-1}(a1^n + a2^n +…+ an^n)會不會成立,可是僅管有trace限制(a1+a2+…+an)=0,還是不會成立(n>3就不成立了)。然後我試找其他規律,沒找到就放棄它了XD。(心底還是那麼點懷疑,難道原題目式子只是巧合?)

  5. ccjou 說道:

    確實 n=2n=3 滿足你給的式子,但是你確定 n>3 上式不成立?

  6. levinc 說道:

    一個反例: a1=1,a2=2,a3=3,a4=-6, (a1+a2+a3+a4)=0; 則LHS=4*((1)*(2)*(3)*(-6)), RHS= (-1)^3*(1+16+81+1296)=/=LHS。
    其實好像從平均數不等式判斷左右兩邊應不等,(a_1^n + ...+ a_n^n)/n \geq \sqrt[n]{(a_1^n...a_n^n)}=(a_1...a_n)
    到此我就沒在探究下去了.

  7. ccjou 說道:

    我試了幾個 n=4 的例子,不過找不出什麼規律。

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