每週問題 September 12, 2011

這是關於冪零 (nilpotent) 矩陣的證明問題。

Pow-Sept-12-11

更新參考解答

PowSol-Sept-12-11

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2 Responses to 每週問題 September 12, 2011

  1. hoochie 說道:

    老師您好:
    解答的C2m取k ,老師似乎筆誤成C2c取k。

    另外,"AB =BA具備同時可三角化性質,亦即存在一可逆矩陣P使得PAP^{-1}PBP^{-1} 同為上三角形矩陣 , 其主對角元全為零 " 這點我不太了解。
    Schur定理說每個矩陣都可以上三角化,但為何其對角元皆零? Base on AB=BA的條件

    謝謝

  2. ccjou 說道:

    謝謝你的指正,已將錯誤更正。

    此題的另一個解法利用「同時可三角化矩陣」
    https://ccjou.wordpress.com/2011/06/21/%E5%90%8C%E6%99%82%E5%8F%AF%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%8C%96%E7%9F%A9%E9%99%A3/
    意思是說:若 AB=BA,則存在一么正 (unitary) 矩陣 P “同時"使得 PAP^{-1}PBP^{-1} 為上三角形矩陣,重點在於"同時",而 Schur 定理則是說明矩陣必可被么正矩陣三角化。

    AB 的特徵值全為零,PAP^{-1} 相似於 A,上三角形矩陣 PAP^{-1} 的主對角元即為其特徵值。

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