線性代數裡的代數結構

本文的閱讀等級:初級

線性代數是一門探討純量 (標量,scalar) 與向量 (矢量,vector) 的學科,純量即為數,向量 (本文專指幾何向量) 又由純量構造而成,因此瞭解數的基本結構可以幫助我們深化線性代數的理解。我們先介紹三種代數結構:阿貝爾群 (abelian group),群 (group) 以及體 (域,field),隨後討論線性代數處理的核心數學物件──向量空間 (vector space)。

 
純量加法的代數結構稱為阿貝爾群。考慮整數集 \mathbb{Z} (包含正整數、負整數與零),我們觀察出任兩個整數的加法運算滿足以下五個性質:

  1. 加法具有封閉性,如果 xy 屬於 \mathbb{Z},那麼 x+y 也屬於 \mathbb{Z}
  2. 加法具有交換性,兩整數之和與其計算位置無關,

    x+y=y+x

  3. 加法具有結合性,排序固定的三個整數之和與其執行加法的順序無關,

    (x+y)+z=x+(y+z)

  4. 存在一整數 0 使得任何整數與其相加皆不改變,

    x+0=0+x=x

    因此 0 也稱為加法單位元。

  5. 任何加法都可以「回復」,意即每一整數皆存在逆元,如下:

    x+(-x)=(-x)+x=0

 
再舉一個例子,考慮正實數集 \mathbb{R}_{+},並以 \times 表示一般的乘法運算:

x\times y=xy

明顯地,正實數乘法滿足封閉性、交換性與結合性。上例中 0 的角色被實數 1 所取代,1 稱為乘法單位元,滿足下式:

x\times 1=1\times x=x

每一個正實數 x 的逆元為其倒數,因為

\displaystyle  x\times\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{x}\right)\times x=1

 
上例整數 \mathbb{Z} 的加法 + 與正實數 \mathbb{R}_{+} 的乘法 \times 共同滿足的五個性質即為阿貝爾群的定義。正式地說,給定一個集合 {G} 與二元運算 \ast,若滿足上述五個性質,即封閉性、交換性、結合性,存在一運算單位元,且每一元素皆存在對應的逆元,我們便稱 ({G},\ast) 為阿貝爾群。

 
阿貝爾群也稱為可交換群 (commutative group)。如果二元運算 \ast 除交換性外,滿足其餘四個性質,則稱為不可交換群或簡稱群。不難驗證 (\mathbb{R},+) 是一個群 (也是阿貝爾群),但 (\mathbb{R},\times) 不構成一個群,因為 0 不存在逆元,亦即不存在 x 使得 0x=1。若將 0 剔除,令 \mathbb{R}^{\ast}=\mathbb{R}\!\setminus\!\{0\},則 (\mathbb{R}^{\ast},\times) 為一個阿貝爾群。明顯地,若將實數 \mathbb{R} 擴大為複數 \mathbb{C},以上陳述仍然成立。

 
近代基礎線性代數教本經常省略有關體的介紹,而直接以實數或複數稱之,至於純量或數則代表某個體的元素。下面我們從封閉性這個角度來探討體的基本概念。我們知道數有加減乘除四則運算,不過整數 \mathbb{Z} 的除法卻會發生問題,除了不能有 x/0,另一個麻煩是兩整數相除的結果未必仍為整數,也就是說,整數僅對加法、減法和乘法維持封閉性。如果我們堅持引入除法,一個可行的辦法是將整數擴大為有理數,即兩整數相除所得的數,記作 \mathbb{Q}=\{p/q\vert p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0\}。這種滿足封閉性的數系稱為一個體,實數 \mathbb{R} 賦予的加法和乘法是最著名的一個體,不令人意外,複數 \mathbb{C} 也是一個體。

 
從有理數 \mathbb{Q},實數 \mathbb{R} 和複數 \mathbb{C} 的性質如何歸納出體的定義呢?上述三種數系都具備加法與乘法運算,我們瞭解對 + 而言,\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{C} 是阿貝爾群;對 \times 而言,\mathbb{Q}^{\ast}\mathbb{R}^{\ast}\mathbb{C}^{\ast} (排除 0 所得的集合) 也都是阿貝爾群。剩下的工作只要再將這兩種運算聯繫在一起,此即分配律:

\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y

(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x

因此,我們推論 (或歸納) 出下列定義:一個體 \mathbb{F} 是一個集合並賦予 +\times 運算,而且 (\mathbb{F},+)(\mathbb{F}^{\ast},\times) 皆為阿貝爾群並滿足分配律。

 
現在我們可以運用阿貝爾群與體來「發現」向量空間的數學結構。令 \mathbb{R}^2 代表二維有序數組 (x_1,x_2) 所成的集合,其中 x_1x_2 是實數。既然實數存在加法運算,自然也可以定義 \mathbb{R}^2 中任兩元素 (x_1,x_2)(y_1,y_2) 的加法運算,如下:

(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)

請讀者自行檢查 (\mathbb{R}^2,+) 是一個阿貝爾群。集合 \mathbb{R}^2 中任兩元素除了可以相加,還有一個合理且有用的乘法運算,那就是純量與有序數組的乘法,如下:

\alpha(x_1,x_2)=(\alpha x_1,\alpha x_2)

其中 \alpha 是一個實數。上述結構包含三個部分:一個阿貝爾群 (即 (\mathbb{R}^2,+)),一個體 (即 \mathbb{R}),以及體中任一元素 \alpha 與阿貝爾群中任一元素 (x_1,x_2) 的乘法運算。在一般情況下,數學家極不願意賦予一個集合兩種以上的結構 (如上例的阿貝爾群與體),除非兩者之間存在緊密的關係,因此我們可以判斷體中一個元素與阿貝爾群中一個元素的乘法運算確實有其必要性。下面給出有別於傳統教科書所述的向量空間定義:

佈於一個體 \mathbb{F} (其中元素稱為純量) 的一個向量空間 (\mathcal{V},+,\cdot) (其中元素稱為向量) 是一個加法阿貝爾群 (即 (\mathcal{V},+) 是一個阿貝爾群),並賦予純量 \alpha 與向量 \mathbf{x} 的乘法運算,簡稱為純量乘法,其結果 \alpha\cdot\mathbf{x} 為屬於 (\mathcal{V},+,\cdot) 的一個向量。以下向量空間記為 \mathcal{V},並省略乘法符號 \cdot。為了使純量乘法運算適當地配合既有的三種運算 (\mathbb{F} 的加法,\mathcal{V} 的加法,\mathbb{F} 的乘法),還必須滿足下列四個性質:

  1. 向量分配律:對於 \alpha,\beta\in{F}\mathbf{x}\in\mathcal{V}(\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}
  2. 純量分配律:對於 \alpha\in{F}\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}\alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y}
  3. 結合律:對於 \alpha,\beta\in{F}\mathbf{x}\in\mathcal{V}(\alpha\beta)\mathbf{x}=\alpha(\beta\mathbf{x})
  4. 純量單位元:對於 \mathbf{x}\in\mathcal{V},存在 1\in\mathbb{F},使得 1\mathbf{x}=\mathbf{x}

 
你可能已察覺阿貝爾群 (\mathcal{V},+) 所滿足的最後四個性質 (扣除封閉性),再加上前述四個純量乘法性質正是向量空間所必須滿足的八個公理[1]。最後討論一個問題:為甚麼向量空間沒有「向量乘法」運算?我們何不仿造向量加法也定義相同形式的「向量乘法」?例如,

(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)=(x_1\times y_1,x_2\times y_2)

數學家回答:不可以!縱使我們刪除 \mathbb{R}^2 的零元素 (0,0),剩下的部分 (\mathbb{R}^2\!\setminus\!\{(0,0)\},\times) 仍不構成一群 (當然也不是阿貝爾群),理由是任何向量若包含零元,如 (1,0),則不存在 (x_1,x_2) 使得 (1,0)\times(x_1,x_2)=(1,1),也就是不存在逆元。在數學家眼中,定義這種不構成阿貝爾群的「向量乘法」不僅醜陋、無益,甚至還是一種不道德的舉止。

 
註解
[1] 一般向量空間的公設化定義如下:佈於一個體 \mathbb{F} 的向量空間 \mathcal{V} 是向量組成的一個集合,並賦予向量加法 +:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\to\mathcal{V} 與純量乘法 \cdot:\mathbb{F}\times\mathcal{V}\to\mathcal{V}。向量 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V} 之和為 \mathbf{x}+\mathbf{y}\in\mathcal{V},向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 與純量 \alpha\in\mathbb{F} 之積為 \alpha\cdot\mathbf{x}\in\mathcal{V}。向量加法與純量乘法運算滿足 (見“同構的向量空間”)

  1. 加法交換律:\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}
  2. 加法結合律:\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}
  3. 向量單位元:存在唯一的 \mathbf{0}\in\mathcal{V} 使得 \mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}
  4. 逆元:存在唯一的 -\mathbf{x}\in\mathcal{V} 使得 \mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0}
  5. 向量分配律:(\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}\alpha,\beta\in \mathbb{F}
  6. 純量分配律:\alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y}
  7. 結合律:\alpha(\beta\mathbf{x})=(\alpha\beta)\mathbf{x}
  8. 純量單位元:存在唯一的 1\in\mathbb{F} 使得 1\mathbf{x}=\mathbf{x}
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13 Responses to 線性代數裡的代數結構

  1. 引用通告: 线性代数里的代数结构 | 共享

  2. 延伸寸 說道:

    上代數課時總覺得和線性代數有藕斷絲連的感覺。教代數課的老師無瑕解釋和線代的關聯,教線代的老師也略過這一段繁瑣的探討。對 “佈於體" 的提問也只回答 “先想成 Q,R,C 就好了" …………. 。 原來如此!

    • ccjou 說道:

      目前正修我課的學生心裡或許這麼想:周老師也是「教線代的老師也略過這一段繁瑣的探討」其中一員。

  3. 想請問一下,關於 Field 的定義中,是明確以加法和乘法定義,還是以兩個二元運算來定義?
    謝謝!

    • ccjou 說道:

      體的加法和乘法可以自行定義。譬如有限體F4={O,I,A,B},將O當作0,I當作1,加法運算如
      A+O=O+A=A, A+A=O, A+I=B, A+B=I
      乘法運算如
      A*O=O, A*I=I*A=A, A*B=I, A*A=B
      F4也滿足文中所述體的定義。

  4. JustCurious 說道:

    那可不可以把複數平面上的兩條軸拿掉再定義向量乘法

    • ccjou 說道:

      向量乘法之所以不存在的原因在於它不構成可交換群。但不知“把複數平面上的兩條軸拿掉”所指為何?是說將\mathbb{C}^2改為\mathbb{R}^2

  5. Moonlove 說道:

    請問在代數結構的觀點上我該怎麼稱呼向量空間呢?接著內積空間又該怎麼稱呼?向量空間在加法上確實滿足abelian group、但偏有個特殊不知的運算是取倍數、所以我才有上述兩問題

  6. suehang 說道:

    大陆60,70年代的实变分析和泛函分析教材大都直接通过定义代数结构来定义"线性代数",和"线性变换".这些年不知为什么又喜欢从行列式这个洪水猛兽开始讲线性代数,真是咄咄怪事!

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