每週問題 November 7, 2011

這是可交換矩陣的充分條件問題。

Pow-Nov-7-11

參考解答

PowSol-Nov-7-11

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8 則回應給 每週問題 November 7, 2011

  1. Dai Liang 說道:

    略微想了一下问题1,得出如下思路。

    AB = A+B -> (A-I)B = A

    找到(A-I) 的最小多项式,由此可以找到 B 的关于 A的多项式表示,由此命题得证。

  2. ccjou 說道:

    逆向思考也提供另一條思路,從 AB=BA 開始,等號兩邊同時加入一些矩陣。另外,可交換矩陣的最簡單形式是如果能建立 XY=I,也就有 YX=I

  3. GSX 說道:

    照周老師的hint:
    1.(A-I)(B-I) = AB-A-B+I = I = (B-I)(A-I) = BA-A-B+I
    2.(A-I)(B+I) = AB-A+B+I = I = (B-I)(A+I) = BA-A+B+I

    可是我不太懂Dai Liang所說的
    找的(A-I)的最小多項式 m(A-I)=0
    然後要怎麼樣把B用A的多項式表示呢?

  4. ccjou 說道:

    我來猜猜 DaiLiang 的意思。如果有 A=f(B) 又知道 A-I 的最小多項式 m(A-I),那麼將 A=f(B) 代入 m(A-I)=0 即可得到 g(B)=0,但這是 B 的最小多項式嗎?

  5. Dai Liang 說道:

    ccjou老师,GSX 大侠,我的思路是这样的,请指正。

    如果记A-I = E,则有 E * B = A

    E 的最小多项式为 a_m * E^m + a_m-1 * E^(m-1) + ..+ I =0,

    则会有
    a_m * E^m * B = a_m * E^m * A
    a_m-1 * E^(m-1) * B = a_m-1 * E^(m-1) * A

    a_1 * E * B = a_1 * E * A
    累加则可得
    (a_m * E^m + a_m-1 * E^(m-1) + ..+ E )* B = (a_m * E^m + a_m-1 * E^(m-1) + ..+ E )*A
    即 B = -(a_m * E^m + a_m-1 * E^(m-1) + ..+ E )*A

  6. ccjou 說道:

    挺有意思的思路,裡面有個小typo,我重述於下。
    E 的最小多項式為
    a_mE^m+a_{m-1}E^{m-1}+\cdots+a_1E+a_0I=0
    E 可逆,則 E 沒有零特徵值,因此 a_0\neq 0,我們可設 a_0=1。利用 EB=A,即有
    0=(a_mE^m+a_{m-1}E^{m-1}+\cdots+a_1E+I)B
    =(a_mE^{m-1}+a_{m-1}E^{m-2}+\cdots+a_1I)A+B
    將上式改為
    B=-(a_mE^{m-1}+a_{m-1}E^{m-2}+\cdots+a_1I)A
    =-(a_m(A-I)^{m-1}+\cdots+a_1I)A
    =f(A)
    B 可寫為 A 的多項式,自然就得到 BA=AB

    還有一個小問題:若 E 不可逆,那怎麼辦?

  7. GSX 說道:

    如果可逆的話似乎是個很typical的問題
    B = (A-I)^(-1) A, :如何用多項式表示反矩陣

    不過其實周老師的hint的方式過程也說明他真的是可逆的
    1.(A-I)(B-I) = AB-A-B+I = I

  8. ccjou 說道:

    回應 GSX。現在事情應該清楚多了,其實不需要使用最小多項式,用 Cayley-Hamilton 定理即可。設 p(t) 為可逆矩陣 E=A-I 的特徵多項式,正規化使得 p(t) 的常數項為 1。利用 p(E)=p(A-I)=0,則
    0=p(E)B=(p(E)-I)B+B
    證出 B=-(p(E)-I)B=q(E)EB=q(E)A=q(A-I)AA 的多項式。

    如果使用 (A-I)(B-I)=I 來說明 A-I 可逆,這可立刻證出原命題,但上面這個精彩的論述不就顯得小題大作了嗎?

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